zad student: Jaki jest wzór na ciąg a_n = a_n−2 − a_n−1

wredulus_pospolitus: no taki jak podałeś Ty się zapewne pytasz o wzór OGÓLNY, prawda a ile wynosi a₁ i a₂ (ewentualnie a₀ i a₁)

student: a₁ = 5

znak : No to świetnie, a drugi wyraz? Jak chcesz określić wzór jawny dla podanego ciągu, jeśli nie masz warunków początkowych?

student: Serio nie wiesz jak?

Blee: Student. Nie. Nie wie. Nikt nie wie. Potrzebne są wartości DWÓCH wyrazów

Blee: No dobra. Nie jest potrzebny. a_n = a_n−1 − a₁ Skoro a₁ = 1 to a_n = −n + 2

student: No widzisz?

student: To chyba źle jest

wredulus_pospolitus: Oczywiście, że jest źle, ponieważ przyjąłem błędnie, że a_n = a_n−1 − a₁ działa dla KAŻDEGO n≥2 co nie jest prawdą, bo a₂ = drugi wyraz potrzebny ogólnie: a₁ = 1 a₃ = a₂ − a₁ = a₄ = a₃ − a₁ = a₂ − 2a₁ a₅ = a₄ − a₁ = a₃ − 2a₁ = a₂ − 3a₁ a_n = a₂ − (n−2)a₁ podstawiasz a₁ = 1 oraz a₂ = i gotowe

wredulus_pospolitus: znowu głupoty piszę drugi wyraz potrzebny i wtedy można robić

student: A jaki jest wzór na a_n = a_n+1 + a_n+2

wredulus_pospolitus: żaden

Mila: a_n = a_n−2 + a_n−1, a₀=0, a₁=1 − ciąg Fibonacciego n≥2 przeczytaj : https://pl.wikipedia.org/wiki/Ci%C4%85g_Fibonacciego

Mila: a_n = a_n−2 − a_n−1, a₀=0, a₁=1

	√5−1   −√5−1   ( )n−( )n   2   2
an=
	√5

daras: zalezy jaki to ciąg, arytmetyczny , geometryczny, Fibonaciego...itp jaja jak berety na tych "studiach"

daras: @student a maturę zdałeś?

kerajs: a_n=a_n−2−a_n−1 a_n+a_n−1−a_n−2=0 To jednorodne równanie rekurencyjne. Rozwiązuje się równanie charakterystyczne: r²+r−1=0 Ponieważ tutaj ma ono dwa różne pierwiastki rzeczywiste, to wzór ogólny ma postać: a_n=A(r₁)ⁿ+B(r₂)ⁿ Współczynniki A i B znajduje się z warunków początkowych, dlatego potrzebne są DWA różne znane wyrazy ciągu(np: a_k i a_m) Dostaje się je rozwiązując układ równań a_k=A(r₁)^k+B(r₂)^k a_m=A(r₁)^m+B(r₂)^m Jak widać, dla łatwiejszych obliczeń, najlepiej jest znać dwa pierwsze wyrazy ciągu.

Mariusz: Znacznie lepiej jest użyć funkcji tworzącej A(x) = ∑_n=0^∞a_nxⁿ a_n = a_n−2 − a_n−1 ∑_n=2^∞a_nxⁿ=(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ)−(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ) ∑_n=2^∞a_nxⁿ=x²(∑_n=2^∞a_n−2xⁿ⁻²)−x(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ⁻¹) ∑_n=2^∞a_nxⁿ=x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)−x(∑_n=1^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀−a₁x=x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)−x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−a₀) A(x)−a₀−a₁x=x²A(x)−x(A(x)−a₀) A(x)−a₀−a₁x=x²A(x)−xA(x)+a₀x A(x)(1+x−x²)=(a₀+a₁)x+a₀

	(a0+a1)x+a0
A(x)=
	x   5   (1+ )2− x2   2   4

	(a0+a1)x+a0
A(x)=
	1−√5   1+√5   (1+ x)(1+ x)   2   2

	A		B
A(x)=		+
	−1+√5   1−( x)   2		−1−√5   1−( )x   2

	−1−√5		−1+√5
A(1−(		)x)+B(1−(		x))=(a0+a1)x+a0
	2		2

A+B = a₀

1+√5		1−√5
	A+		B=a0+a1
2		2

B=a₀−A

1+√5		1−√5
	A+		(a0−A)=a0+a1
2		2

(1+√5)A+(1−√5)(a₀−A)=2a₀+2a₁ (1+√5)A−(1−√5)A+(1−√5)a₀ 2√5A=2a₀+2a₁−(1−√5)a₀ B=a₀−A 2√5A=2a₀+2a₁−(1−√5)a₀ B=a₀−A 2√5A=(1+√5)a₀+2a₁

	√5		√5
A=		(1+√5)a0+		a1
	10		5

	√5		√5
B=a0−(		(1+√5)a0+		a1)
	10		5

	1		√5		√5
A=(		+		)a0+		a1
	2		10		5

	1		√5		√5
B=(		−		)a0−		a1
	2		10		5

	1		√5		√5		1
A(x)=((		+		)a0+		a1)		+
	2		10		5		−1+√5   1−( x)   2

	1		√5		√5		1
((		−		)a0−		a1)
	2		10		5		−1−√5   1−( )x   2

	1		√5		√5		−1+√5
A(x)=((		+		)a0+		a1)(∑n=0∞(		)nxn)
	2		10		5		2

	1		√5		√5		−1−√5
+((		−		)a0−		a1)(∑n=0∞(		)nxn)
	2		10		5		2

	1		√5		√5		−1+√5
an=((		+		)a0+		a1)(		)n+
	2		10		5		2

	1		√5		√5		−1−√5
((		−		)a0−		a1)(		)n
	2		10		5		2

znak : Co tam, panie student, wzory odkryte? Już wiesz, że się nie da w taki sposób, a da w inny? Ciekawe, co za studia.

kerajs: No to dorzucę zgadywankę, sugerowaną przez wredulusa a_n=a_n−2−a_n przy znanym a₀ i a₁ a₂=a₀−a₁=−a₁+a₀ a₃=a₁−a₂=2a₁−a₀ a₄=a₂−a₃=−3a₁+2a₀ a₅=a₃−a₄=5a₁−3a₀ a₆=a₄−a₅=−8a₁+5a₀ Łatwo zauważyć, iż współczynniki przy a₁ i a₀ są liczbami Fibonacciego, a stąd: a_n=(−1)ⁿ⁺¹F_na₁+(−1)ⁿF_n−1a₀ Wystarczy teraz wstawić wzór Bineta i wzór ogólny gotowy. @MariuszM ''znacznie lepiej'', ''łatwiejszy sposób'', ''prostsza metoda'' Od tylu lat częstujesz mnie tymi sucharami, a wciąż potrafią mnie rozbawić.

Mariusz: No prostsza bo wstawiasz i rozwiązujesz Nie musisz zgadywać postaci rozwiązania równania jednorodnego bo wychodzi ona z szeregów geometrycznych i ich pochodnych Nie musisz także zgadywać postaci rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego I na koniec więcej równań rozwiążesz z wykorzystaniem funkcji tworzącej (najbardziej znany przykład to liczby Catalana)