pierwiastki wielomianu Krzych: Udowodnić, że jeżeli liczby a i b są pierwiastkami równania x⁴ + x³ −1 to liczba ab jest pierwiastkiem równania x⁶ + x⁴ +x³ −x² −1.

Mariusz: To jest jeszcze równanie czwartego stopnia więc przy braku pomysłów można te pierwiastki a oraz b znaleźć rozwiązując równanie x⁴+x³−1=0 http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf

jc: f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)(x−d)=x³−s₁x² + s²x − s₃ g(x)=(x−ab)(x−ac)(x−ad)(x−bc)(x−bd)(x−cd)=x⁶−m₁x⁵+m₂x⁴−m₃x³+m₄x²−m₅x+m₆ Łatwe, ale dość żmudne rachunki dają m₁=s₂ m₂=s₁s3−s₄ m₃=s₃²−s₄s₁ m₄=s₄s₃s₁−s₄² m₅=s₄²s₂ m₆=s₄³ W naszym zadaniu wychodzi tak, jak w odpowiedzi.

jc: Mała pomyłka: m₃=s₃²−2s₄s₂+s₄s₁². To wynik ogólny, a zadanie na pewno można rozwiązać prościej.

jc: Proste rozwiązanie. a, b − dwa równe rozwiązania. a⁴ + a² =1 b⁴ + b² =1 mnożymy u³(1+u+s)=1, gdzie u=ab, s=a+b Eliminujemy s. a⁴ + a³ =1 /b² b⁴ + b³ =1 /a² mnożymy, odejmujemy i dzielimy przez b−a u² s + u² = s stąd u²=(1−u²)s Mnożymy u³(1+u+s)=1 przez (1−u²) u³(1+u)(1−u²) + u⁵ = 1−u² Po uporządkowaniu u⁶−u⁴−u³−u²+1=0 gdzie jest błąd?

jc: Znalazłem. Jeszcze raz. Jak poprzednio: u=ab, s=a+b a⁴+a³=1 b⁴+b³=1 u³(1+u+s)=1 u²a²+u²a=b² u²b²+u²b=a² u²s + u²=−s s(1+u²)=−u² u³(1+u)(1+u²) −u⁵=1+u² u⁶+u⁴+u³−u²−1=0 Teraz jest dobrze.

Adamm: