Udowodnij, że wśród 13 punktów dowolnie wybranych z koła o promieniu 1, trzy two Karmel: Udowodnij, że wśród 13 punktów dowolnie wybranych z koła o promieniu 1, trzy tworzą trójkąt o polu nie większym niż 0, 6.

wredulus_pospolitus: Tutaj rozumowanie jest niestety trochę bardziej intuicyjne (niż bym tego chciał): Zauważmy, że: 1) Skoro punkty mają być w kole to wysokość każdego z trójkątów (powstałych z tych punktów) będzie mniejsza od 2 (średnica okręgu). 2) Tak więc, aby pole trójkąta mogło być większe od 0.6 to długość podstawy (najkrótszego boku) musiałaby być większa od 0.6. 3) Odległość pomiędzy dwoma punktami na krańcach koła będzie mniejsza od długości łuku wyznaczonego przez te dwa punkty. Tak więc długość łuku musiałaby być większa niż 0.6 4) Mamy obrać 13 punktów. Czyli będziemy mieli 13 takich odcinków (13 łuków) 5) Obw_koła = 2π*1 < 2*3.2 = 6.4 < 13*0.5 < 13*0.6 6) Związku z tym −−− obierając punkty tylko na skraju koła nie możemy wygenerować wszystkich trójkątów o polu większym niż 0.6 7) Jeżeli natomiast jakikolwiek punkt leży wewnątrz koła, wtedy wysokość trójkąta będzie jeszcze mniejsza, co spowoduje konieczność posiadania dłuższej podstawy.

1: a takie? W kole o promieniu 2 wybranych zostało 13 punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe. Uzasadnij, że wśród trójkątów, których wierzchołkami są wybrane punkty znajduje się trójkąt o polu nie większym niż √3

1: analogicznie nie idzie

wredulus_pospolitus: Tutaj bym podszedł w ten sposób. Dzielimy koło na cztery ćwiartki. Mamy 13 punktów. Wynika z tego, że co najmniej 4 z nich będą leżeć w jednej ćwiartce + obrzeże (wliczając w to środek okręgu) −−− metoda szufladkowania Dirichleta.. Z czterech punktów możemy zbudować czworokąt, który później można podzielić na dwa trójkąty (za pomocą jednej z przekątnych).

	πr2
Ćwiartka koła o promieniu 2 ma pole:		= π < 3.15.
	4

Czyli pole czworokąta będzie < 3.15 W takim razie pole MNIEJSZEGO z dwóch trójkątów powstałych przez podział tegoż czworokąta

	3.15
będzie <		= 1.575 < 1.73 < √3
	2

Czy taki dowód przemawia do Ciebie

wredulus_pospolitus: Zauważ, że tamte szacowanie sprzed 3.5 lat było o wiele wiele słabsze od tego, które obecnie Ci pokazałem.

wredulus_pospolitus: Inne podejście do tematu ... ale na to samo kopyto −−−> podziel koło na 6 części. W jednej z nich na pewno mamy 3 punkty. Zauważ, że można też było podzielić koło na 6 części ... wtedy mamy pewność, że w jednej z tych części mamy 3 punkty. Maksymalne pole trójkąta jakie te 3 punkty mogą stworzyć jest równe DOKŁADNIE √3 co jest polem trójkąta równobocznego o boku równym 2.

wredulus_pospolitus: I idąc za ciosem −−− podziel koło na 2 części ... pole każdej z nich wynosi 2π < 6.3. W jednej z tych części na pewno będzie minimum 7 punktów −−−> masz siedmiokąt. Prowadzimy przekątne z jednego z wierzchołków tego siedmiokąta i mamy 5 trójkątów.

	2π		6,3
Z nich, ten o najmniejszym polu będzie miał na pewno pole ≤		<		= 1,26 < √2
	5		5

< √3 Jak widzisz ... dzięki temu teraz mamy jeszcze mocniejsze oszacowanie maksymalnego pola najmniejszego z trójkątów.

1: a skąd wiemy że w ten sposób otrzymamy trójkąt o maksymalnym polu dzieląc koło na 6 przystających trójkątów?

1: przecież pole trójkąta który tworzy jakby z tym kątem 60 stopni kąt środkowy i opisany na tym samym łuku stworzy pole większe

1: i będzie zawierał ten trójkąt równoboczny o promieniu 2

1: dobra my mamy uzasadnić że zawsze da się znaleźć taki trójkąt o polu

1: zatem nawet 7 punktów by wystarczyło już na stwierdzenie pola √3 a jak mamy 13 to możemy też podzielić na 12 części?

.: Nie. Mając dwie połówki koła i 13 punktów, wiemy że w jednej z połówek NA PEWNO będzie conajmniej 7 punktow. Gdybyśmy mieli tylko 7 punktow to przecież nie wszystkie 7 musiałyby być w jednej polowce. A jak podzielisz koło na 12 części to jedyne co masz to to, że w jednej z tych części będą 2 punkty, i co z tego? Jak z 2 punktow chcesz trojkat zbudować?