Niech an będzie liczbą dodatnich, całkowitoliczbowych rozwiązań równania Karmel: Niech a_n będzie liczbą dodatnich, całkowitoliczbowych rozwiązań równania: x₁ +2x₂ +3x₃ = n. Wskaż funkcję tworzącą f(x) dla ciągu a₀,a₁,a₂,...

wredulus_pospolitus: a₀ = 1 (0,0,0) a₁ = 1 (1,0,0) a₂ = 2 (2,0,0) , (0,1,0) a₃ = 3 (3,0,0) , (1,1,0) , (0,0,1) a₄ = 4 (4,0,0) , (2,1,0) , (0, 2,0) , (1,0,1) a₅ = 5 (5,0,0) , (3,1,0) , (1, 2,0) , (2,0,1) , (0,1,1) a₆ = 7 (6,0,0) , (4,1,0) , (2, 2,0) , (0,3,0) , (3,0,1) , (0,0,2) , (1,1,1) a₇ = 8 (7,0,0) , (5,1,0) , (3, 2,0) , (1,3,0) , (4,0,1) , (1,0,2) , (2,1,1) , (0,2,1) a₈ = 9 (8,0,0) , (6,1,0) , (4, 2,0) , (2,3,0) , (0,4,0) , (5,0,1) , (2,0,2) , (3,1,1) , (1,2,1) a₉ =11 (9,0,0) , (7,1,0) , (5, 2,0) , (3,3,0) , (1,4,0) , (6,0,1) , (3,0,2) , (0,0,3) , (4,1,1) , (2,2,1) , (0,3,1) Możesz jeszcze rozpisać dla n ≤ 15 i na podstawie tego zauważyć prawidłowość (jeśli nadal jej nie widzisz). Następnie udowodnić tę prawidłowość i na podstawie tego zapisać funkcję.

Karmel: @wredulus_pospolitus nie jestem pewny dlaczego w takich przypadkach rozpatrujesz rozwiązania z zerami, skoro mają być dodatnie całkowitoliczbowe. Np dla a₀ = 1 (0,0,0) a₁ = 1 (1,0,0) czy nie powinniśmy ich czasem pominąć?

Blee: A widzisz. Nie spojrzałem ze chodzi o dodatnie (myślałem o nieujemnych). To skoryguj to co pisalem

Blee: to w takim razie a₆ = 1 (1,1,1) a₇ = 1 (2,1,1) a₈ = 2 (3,1,1), (1,2,1) .... itd. Zauważ, że będzie to nic innego jak to co wcześniej napisałem tylko 'przesunięte' i dodane (1,1,1) do każdego rozkładu Więc a₆ powstaje z mojego (błędnego) a₀ poprzez dodanie do każdego przypadki 1,1,1. a₇ powstaje z błędnego a₁, itd.

Pytający: Blee, a₈, a₉ masz źle w tym pierwszym wpisie (brakuje po jednym przypadku). Poza trzeba tylko funkcję tworzącą znaleźć, więc po cóż tak kombinować: • a_n liczba dodatnich, całkowitoliczbowych rozwiązań równania x = n, wtedy funkcja tworząca

	x
(an) to f(x) =		,
	1 − x

• a_n liczba dodatnich, całkowitoliczbowych rozwiązań równania 2x = n, wtedy funkcja tworząca

	x2
(an) to f(x) =		,
	1 − x2

• a_n liczba dodatnich, całkowitoliczbowych rozwiązań równania 3x = n, wtedy funkcja tworząca

	x3
(an) to f(x) =		,
	1 − x3

• a_n liczba dodatnich, całkowitoliczbowych rozwiązań równania x₁ + 2x₂ + 3x₃ = n, wtedy

	x		x2		x3
funkcja tworząca (an) to f(x) =		*		*		.
	1 − x		1 − x2		1 − x3

Mila: