Całka f wymiernej
Popa: Cześć mam taki problem: ∫(x3−4x2+1)/(x−2)4 dx rozbiłem na ∫(Ax2+Bx+C)/(x−2)3 dx+∫ D/(x−2)
dx
i po zrobieniu układu 4 równań na A B C Dwychodzi sprzeczność.
Dlaczego ta metoda jest niepoprawna?
14 sie 15:14
Kacper:
Źle przedstawiłeś ten rozkład na ułamki proste.
Powinny być 4 ułamki.
14 sie 16:09
Popa: Właśnie znalazłem w internecie i powoli zaczynam rozumieć. Dzięki
14 sie 16:12
jc: x=y+2, y=x−2
x3−4x2+1=(y3+6y2+12y+8)−4(y2+4y+4)+1=y3+2y2−10y−7
całka = ∫(y−1 + 2y−2 − 10y−3−7y−4) dy= ln|y| − 2/y + 20/y2 +21/y3
14 sie 16:55
Mila:
(x
3−4x
2+1)/(x−2)
4 =
| | A | | B | | C | | D | |
= |
| + |
| + |
| + |
| ⇔ |
| | x−2 | | (x−2)2 | | (x−2)3 | | (x−2)4 | |
x
3−4x
2+1=A*(x−2)
3+B*(x−2)
2+C*(x−2)+D
1)x=0
L=1, P=−8A+4B−2C+D stąd : −8A+4B−2C+D=1
2) x=1
L=−2, P=−A+B−C+D stąd −A+B−C+D=−2
3) x=2
L=−7, P=D⇔D=−7
4) x=−1
L=−4, P=−27A+9B−3C−23 stąd −27A+9B−3C−7=−4
============
−8A+4B−2C=8
−A+B−C=5
−27A+9B−3C=3
============
A=1, B=2, C=−4, D=−7
========================
14 sie 20:52
jc: No tak, 12−16=−4, a nie −10.
14 sie 21:20
Mariusz:
@Popa pomysł miałeś dobry tyle że niepotrzebnie dałeś całkę
Na pomysł z którego chciałeś skorzystać wpadł już Ostrogradski
Poczytaj o wydzieleniu części wymiernej całki
" Cześć mam taki problem: ∫U{x
3−4x
2+1}/{(x−2)
4} dx
| | Ax2+Bx+C | | D | |
rozbiłem na ∫ |
| dx+∫ |
| dx" |
| | (x−2)3 | | (x−2) | |
No właśnie tak rozbiłeś i dlatego wyszła ci sprzeczność
Gdybyś rozbił w taki sposób
| | Ax2+Bx+C | | D | |
∫U{x3−4x2+1}/{(x−2)4} dx = |
| + ∫ |
| dx |
| | (x−2)3 | | (x−2) | |
a następnie zróżniczkował obustronnie to by ci wyszło
14 sie 23:41
Damian#UDM: Milu czemu za x podstawiasz kolejno 0, 1, 2 i −1 ?
15 sie 00:12
Mariusz:
Bierze dowolne liczby które nie były jeszcze wykorzystane
Wg mnie najbliżej tego co napisał Popa jest wydzielenie części wymiernej całki
| | L(x) | | L1(x) | | L2(x) | |
∫ |
| = |
| +∫ |
| dx |
| | M(x) | | M1(x) | | M2(x) | |
Zakładamy że:
stopień wielomianu M(x) jest większy niż stopień wielomianu L(x)
stopień wielomianu M
1(x) jest większy niż stopień wielomianu L
1(x)
stopień wielomianu M
2(x) jest większy niż stopień wielomianu L
2(x)
M
2(x) posiada te same pierwiastki co M(x) tyle że pojedyncze
M(x)=M
1(x)M
2(x) a zatem
M
1(x) posiada te same pierwiastki co M(x) tyle że w krotności o jeden mniejszej
Aby wyznaczyć liczniki przyjmujesz w wielomianach współczynniki literowe i obustronnie
różniczkujesz równość
| | L(x) | | L1(x) | | L2(x) | |
∫ |
| = |
| +∫ |
| dx |
| | M(x) | | M1(x) | | M2(x) | |
Jeżeli nie masz podanego rozkładu mianownika M(x) na czynniki
to mianowniki M
1(x) oraz M
2(x) możesz wyznaczyć w ten sposób
M
1(x) = NWD(M(x),M'(x))
(NWD obliczasz algorytmem Euklidesa czyli biorąc reszty z kolejnych dzieleń)
M(x)=M
1(x)M
2(x)
15 sie 00:46
Mila:
Damianie
Równość :
x3−4x2+1=A*(x−2)3+B*(x−2)2+C*(x−2)+D
ma zachodzić dla każdego x∊R,
podstawiam wygodne do obliczeń wartości x.
15 sie 17:43
Damian#UDM: Super, dziękuje za wytłumaczenie
16 sie 22:34