granica Hapy:

	an
Niech an > 0, an → 0 Wykaż że jeśli limn→∞ n*(		−1)=q to
	an+1

	n
limn→∞ (1−(an)1/n)*		=q.
	ln n

Adamm: a_n/a_n+1 = 1+q/n+o(1/n) ln(a_n+1)−ln(a_n) = −ln(1+q/n+o(1/n)) = −q/n+o(1/n) Zatem Δ ln(a_n) = −q/n+o(1/n). Stąd ln(a_n) = ∑_k=0ⁿ⁻¹ Δ ln(a_n) = ∑_k=0ⁿ⁻¹ (−q/k) + o(∑_k=0ⁿ⁻¹ 1/k) = −q*ln(n) + o(ln(n)) (bo H_n = ln(n) + O(1); skorzystałem z twierdzenia Stolza by móc napisać o(∑_k=0ⁿ⁻¹ 1/k) w powyższym wyrażeniu ) Zatem a_n^1/n = exp(−q*ln(n)/n + o(ln(n)/n)) = 1−q*ln(n)/n + o(ln(n)/n).

	n
Skąd lim (1−an1/n)*		= q
	ln(n)

Adamm: Jeśli skorzystać z ln(1+x) = x+O(x²) zamiast ln(1+x) = x+o(x), to dostajemy ln(a_n+1)−ln(a_n) = −q/n+O(1/n²) Stąd ln(a_n) = ... + O(1), przy czym nie korzystamy z twierdzenia Stolza, a jedynie prostej obserwacji, takiej, że skoro x_n = O(1/n²), to |x_n| ≤ C*1/n² dla odpowiednio dużych n. Ale wtedy |∑_k=1ⁿ x_k | ≤ ∑_k=1ⁿ |x_k| ≤ M+C*∑_k=1^∞ 1/k² To znaczy, ∑_k=1ⁿ x_k = O(1).

	n
Wtedy również można zapisać		*(1−an1/n) = q + O(ln(n)/n),
	ln(n)

zatem nawet wiadomo, że to wyrażenie nie może dążyć do q wolniej niż ln(n)/n