Liczby całkowite AHQ: Dzień dobry, mam mały dylemat odnoście końcowej części zadania. Oto treść: Dane są są liczby x,y,z ∊R, takie że liczby x+y, x²+y², x³+y³, x⁴+y⁴ są całkowite. Pokazać, że dla każdego n∊Z₊ liczba xⁿ+yⁿ również jest całkowita. I moje rozwiązanie: Zauważamy, że liczby (x+y)²−(x+y) = 2xy oraz (x²+y²)²−(x⁴+y⁴) = 2x²y² są całkowite Następnie pokazujemy nie wprost, że xy musi być całkowita. W przeciwnym wypadku:

	(2xy)2
2xy jest nieparzysta co prowadzi do sprzeczności gdyż wtedy liczba 2x2y2 =
	2

nie byłaby całkowita. Zatem xy∊Z Korzystając ze znanej tożsamości xⁿ+yⁿ = (xⁿ⁻¹+yⁿ⁻¹)(x+y) − (xⁿ⁻²+yⁿ⁻²)(xy) (*) Teraz próbuję pokazać indukcyjnie. Dla n=1 liczba (*) jest oczywiście całkowita. Zakładam, że liczba (*) jest całkowita dla pewnego n∊Z₊ Udowodniamy, że liczba (*) będzie również całkowita dla n o 1 większego: xⁿ⁺¹+yⁿ⁺¹ = (xⁿ+yⁿ)(x+y) − (xⁿ⁻¹+yⁿ⁻¹)(xy) Czy mogę mieć pewność, że liczba pokolorowana na czerwono jest całkowita ?

ICSP: To uzasadnienie, że xy jest całkowita jakieś takie kiepskie. Musisz sprawdzić dla dwóch początkowych wartości tzn dla n = 1 i n = 2 Podobne rozumowanie jest w dowodzie wzoru jawnego dla ciagu fibonacciego

wredulus_pospolitus: nie dla n=1,n=2 tylko wystarczy zacząć od n = 4 (ostatnie znane nam 'n' dla którego mamy pewność że xⁿ + yⁿ jest całkowite

AHQ: ISCIP, dlaczego kiepskie ? wredulus pospolitus, Oki, rozumiem. Tak czy siak, zostaje do pokazania, że xⁿ⁻¹+yⁿ⁻¹ jest całkowita, by zakończyć dowód indukcyjny.

cot: np ze xy całkowite 2xy=m∊C , xy=m/2 2x²y²=n∊C m²/2=n, a wiec 2|m zatem xy−całkowite

cot: A mozna tak z indukcji

	x3 + y3 + xy(x+y)
x2 + y2 =		−prawda
	x+y

	x4 + y4 + xy(x2+y2)
x3+y3 =		−prawda
	x+y

	x5 + y5 + xy(x3 + y3)
x4 + y4 =		−prawda
	x+y

. . . . xⁿ + yⁿ−całkowite

Blee: cot. Wybacz ale nie bardzo rozumiem logiki w Twoim rozwiązaniu. Dowodzisz prawidlowosc dla 'n' wykorzystując do tego postać 'n+1' której jeszcze nie wykazałeś prawdziwość.

cot: Założyłem że dla n=k jest prawdziwe i pokazałem że dla n=k+1 jest prawdziwe. A powyższe pokzauje że dla n=k−1 jest prawdzwiwe.

Adamm: indukcja zupełna (w gruncie rzeczy to to samo co indukcja) 1. T(1) jest prawdziwe 2. T(k) jest prawdziwe dla 1≤k≤n, to T(n+1) jest prawdziwe Wtedy T(n) jest prawdziwe dla n≥1