wredulus_pospolitus: ≤
Kolejność rozumowania:
1) Wiemy, że funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna na R .... związku z tym, wiemy że
f'(x) jest funkcją ciągłą w R
2) Wiemy, że istnieje taki α∊R, że |f(α)| + (f'(α))
2 = 80 ... stąd wiemy, że dla tego α∊R mamy
( f'(α) )
2 ≥ 77
Na chwilę załóżmy, że f'(α) > 0 (dla f'(α) < 0 rozumowanie analogiczne)
3) Skoro f'(x) jest funkcją ciągła, to znaczy że istnieje takie otoczenie α, w którym f(x)
'szybko rośnie', ale mamy warunek, że |f(x)| ≤ 3 (czyli f(x) jest funkcją ograniczoną), więc
musi nadejść taki moment (taki x
o > α), że ( f'(x
o) )
2 < 77, ponieważ im bardziej wartość
funkcji f(x) zbliżać się będzie do wartości 3, tym bardziej musimy 'wyhamowywać' wzrost
wartości funkcji
4) Funkcja ciągła i ograniczona (f(x)), posiadająca ciągłą pochodną (f'(x) ) osiąga swoje
maksimum/minimum globalne (czyli f'(x
0)
=0) LUB posiada swoje kresy do których dąży w
+/
− ∞ (czyli np. lim
x−> +∞ f'(x) = 0)
5) Wnioskujemy więc z tego (z punktu 3 i 4), że każda funkcja f(x) spełniająca warunki podane w
zadaniu MUSI mieć przedział dla którego ( f'(x) )
2 ∊ (0 ; 77)
6) Ale czy to mówi nam ile liczb całkowitych będzie w takim przedziale
NIE. Może być ich
od 0 do nieskończoności
Nieskończenie wiele liczb całkowitych dla których ( f'(x) )
2 ∊ (0; 77) mamy na przykład dla:
f(x) = arctg(
√80x) (funkcja ograniczona −1 < f(x) < 1 ; f(0) + (f'(0))
2 = 0 +
f'(x) osiąga maksimum dla x=0 natomiast lim
x−> ±∞ f'(x) = 0
Ani jednej liczby całkowitych dla których ( f'(x) )
2 ∊ (0; 77) mamy na przykład dla:
| | sin(√80π*x) | | 1 | | 1 | |
f(x) = |
| (funkcja ograniczona − |
| < f(x) < |
| ; f(0) + |
| | π | | π | | π | |
(f'(0))
2 = 0 + (80*1)
2 = 80)
funkcja została tak dobrana, aby dla KAŻDEJ liczby całkowitej x zachodziło f'(x) = 0 (czyli (
f'(x) )
2 nie należy do przedziału)
Natomiast każda sytuacja 'pośrednia' (np. dokładnie sześć liczb całkowitych) można stworzyć
poprzez połączenie tych dwóch funkcji (ewentualnie drobna kosmetyka w celu zapewnienia
różniczkowalności tejże 'hybrydy' )
