trójkat Jasiek: W trójkącie równoramiennym ABC kąt między ramionami AC i BC ma miarę 100⁰ Dwusieczna kata BAC przecina ramięBC w punkcie P Wykaż Że |AP|+|CP|=|AB|

Jasiek: I jeszcze jedno , takie W trójkącie równoramiennym ABC, AB=AC Punkt M jest środkiem wysokości CD Punkt N jest rzutem prostokątnym punktu D na prostą BM Wykaż że trójkąt ACN jest prostokątny

r,t:

construct: Podpowiedz Niech E∊AB tak że AE=AP, kąt APE= kąt AEP= 80

Mila: |AP|=d, |CP|=x 1) W ΔCDB:

	c
sin50o=		⇔c=bsin50o
	b

|AB|=2bsin50^o 2) P_ΔAPC: porównanie 1:

1		1		2bsin2oo
	d*x*sin60o=		*b*d*sin20o stąd: x=
2		2		√3

porównanie 2:

1		1		2bsin100o
	d*x*sin60o=		x*b*sin100o stąd: d=
2		2		√3

	2bsin20o		2bsin100o
3) x+d=		+		=
	√3		√3

	2b		2b
=		*(sin20o+sin100o)=		*2 sin 60o*cos400=
	√3		√3

=2bcos40^o=|AB| ⇔|AB|=|AP|+|PC| ===========

Mila: Bez trygonometrii. 1) Przedłużam AC w taki sposób, aby |AD|=AB| ΔABD− Δrównoramienny, AF− symetralna BD E− tak zaznaczone, aby |AE|=AP| ΔAPE− Δrównoramienny, kąty przy podstawie EP mają po 80 ^o 2) ΔCPE− Δrównoramienny, |CP|=|EP| 3) |PD|=|PB| i kąty w ΔBDP są równe jak na rysunku (zaznaczone zielonym kolorem)⇒ ΔPED−Δrównoramienny i |ED|=|EP|=|CP|⇒ |AD|=|CE|+|ED|=|AP|+|CP|=|AB|

Eta: 3 sposób Na boku AB obieram taki punkt D ,że |AP|=|AD| to trójkąt ADP równoramienny o kątach ADP=APD=80^o oraz kąty DBP=DPB=40^o to trójkąt DBP też równoramienny Na czworokącie ADPC da się opisać okrąg to |DP|=|CP|=|DB| i mamy tezę: |AP|+|CP|=|AP|+|DB|=|AB| =====================