Równania diofatyczne Ola: Chciałam się zapytać w jakich książkach lub na jakich stronach znajdę dobrze wytłumaczone równania diofantyczne z teorią popartą wieloma przykładami? Poznajdowałam jedynie metodę Euklidesa oraz metodę ułamków łańcuchowych popartą przykładami. I chciałam zapytać gdzie mogłabym znaleźć również inne metody? Z góry bardzo dziękuję.

Mila: Równania diofantyczne http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/number_theory/A22.pdf http://strefamatematyczna.uwm.edu.pl/wamat/artgify/art_03_01_001_pg.pdf http://knm.katowice.pl/licea/kolko/21.11.2011_beata_lojan/pliki/rownania_diofantyczne.pdf https://www.studocu.com/pl/document/politechnika-krakowska-im-tadeusza-kosciuszki/matematyka-dyskretna/praktyczne/rownania-diofantyczne-liniowe-i-rownania-modulo/5112891/view

Ola: Dziękuję, znalazłam to samo, ale nie ma na tych stronach sposobów rozwiązywania równań diofantycznych z przykładami poza metodą Euklidesa. Mi potrzebne są omówione inne sposoby rozwiązywania równań diofantycznych niż metodą Euklidesa i ułamków łańcuchowych.

ABC: do najprostszych równań te dwa sposoby są najlepsze, zresztą do niektórych bardziej skomplikowanych jak równanie Pella też ułamki łańcuchowe są klasycznym podejściem. Różne "sztuczki" podaje Diofantos w swoim dziele , ale czytałem je tylko w językach angielskim i rosyjskim, nawet nie wiem czy wyszło polskie tłumaczenie. Z tym że tam do każdego typu równania jest przeważnie inna sztuczka, na którą samemu czasem nie tak łatwo wpaść.

Ola: W linku wklejam zdjęcie, w którym rozwiązałam równanie tymi dwoma metodami: https://scontent.fwaw5-1.fna.fbcdn.net/v/t1.15752-9/108633952_1650829748420422_3717720048866912691_n.jpg?_nc_cat=111&_nc_sid=b96e70&_nc_ohc=9EaCgxHSzssAX_lbO5U&_nc_ht=scontent.fwaw5-1.fna&oh=baf86a3a34f68b1b7667c4b3db2033eb&oe=5F38664B . Czy są one rozwiązane dobrze? Jeśli tak, to nie widzę sensu stosowania metody ułamków łańcuchowych, ponieważ jest według mnie dłuższa i trudniejsza. Czy może się mylę? Z góry bardzo dziękuję.

Mila: Dobrze Ja rozwiązuję tak: 1) NWD(208,136)=8 208x+136y=120 /:8 26x+17y=15 26 i 17 − liczby względnie pierwsze⇔równanie posiada rozwiązanie 2) Rozwiązuję równanie : 26x+17y=1 26=17*1+9 17=9*1+8 9=8*1+1 3) ⇔ 1=2*26−3*17 /*15 15=30*26−45*17 x₀=30, y₀=−45 x=30+17 t y=−45−26t, t∊Z ⇔ 4) x=13+17n, y=−19+26n, n∊Z =============

Ola: Ok, dziękuję bardzo. A jeszcze chciałam zapytać, jaki jest sens stosowania metody ułamków łańcuchowych ? Metoda Euklidesa jest zdecydowanie szybsza. Z góry bardzo dziękuję.

getin: Jeśli ktoś lubi ułamki to będzie wolał używać metody z ułamkami Inna metoda 26x+17y=15 wyznaczasz dowolną zmienną z równania, np. y

	15−26x
y =
	17

sprawdzasz, jaką jest reszta z dzielenia współczynnika przy zmiennej znajdującej się po prawej stronie równania w liczniku, przez mianownik 26 daje przy dzieleniu przez 17 resztę 9 Podstawiasz kolejne liczby całkowite w miejsce zmiennej która znajduje się po prawej stronie równania (w tym przypadku x) jeśli współczynnik przed tą zmienną jest ujemny (u nas jest ujemny −26), to podstawiasz kolejno za x: 0, −1, −2, −3 gdyby był dodatni, to podstawiasz za x kolejno: 0, 1, 2, 3, ... tworzysz poniższą tabelkę przy czym reszta z dzielenia może być liczbą naturalną z zakresu {0, 1, 2, 3, ... , m−1} gdzie m − mianownik ułamka wraz z kolejnym dopisanym x−sem do tabelki zwiększasz resztę z dzielenia o wartość reszty z dzielenia wartości bezwzględnej współczynnika przy iksie (czyli 26) przez mianownik (czyli 17) czyli resztę z dzielenia w tabelce trzeba zwiększyć o 9 bo reszta z dzielenia 26 przez 17 to właśnie 9 pamiętamy że reszta musi być jedną z liczb {0, 1, 2, 3, ... , m−1} x | reszta z dzielenia licznika ułamka czyli (15−26x) przez 17 ====================================== 0 | reszta 15 −1 | 15+9 = 24, reszta 7 −2 | 7+9 = 16, reszta 16 −3 | 16+9 = 25 reszta 8 −4 | 8+9 = 17 reszta 0

	15−26*(−4)
x = −4, y =		= 7 czyli (x,y) = (−4, 7)
	17

−5 | 0+9 = 9, reszta 9 −6 | 9+9 = 18, reszta 1 −7 | 1+9 = 10, reszta 10 −8 | 2 −9 | 11 −10| 3 −11| 12 −12| 4 −13| 13 −14| 5 −15| 14 −16| 6 −17| 15 −18| 7 −19| 16 −20| 8 −21| 0 x = −21, y = U}{15−26*(−21)}{17} = 33 czyli (x,y) = (−21, 33) x = {..., −4, −21, ... } kolejne iksy różnią się o −17 y = {..., 7, 33, ... } kolejne igreki różnią się o 26 x = −17t − 4 y = 26t + 7

Mila: cd. 23.10 II sposób bez ułamków łańcuchowych 26x+17y=15 1) 26x+17y=1 [można w zasadzie x₀ i y₀ obliczyć w pamięci bo 26*2=52 i 17* (−3)=−51) ] ale ogólnie to tak:

	1−26x		1−17x−9x
y=		⇔y=		⇔
	17		17

	1−9x
y=−x+		, x,y∊Z
	17

a) 1−9x=17⇔−9x=16, x∉Z b) 1−9x=−17⇔−9x=−18⇔x=2 i y=−2+(−1)=−3 26*2−3*17=1 /*15 26*30−45*17=15 dalej jak wcześniej było obliczone.