algebra off: Niech n będzie liczbą całkowitą, rozwiąż układ równań w liczbach nieujemnych x₁, x₂...x_n x₁+x₂²+x₃³+....+x_nⁿ=n

	n(n+1)
x1+2x2+3x3+....+nxn=
	2

Ma ktoś jakiś pomysł jak to ruszyć?

wredulus_pospolitus: drugie równanie: zauważ, że:

n(n+1)
	= 1 + 2 + .... + (n−1) + n
2

z tego wynika, że jednym (niekoniecznie jedynym) rozwiązaniem będzie x₁ = x₂ = .... = x_n = 1

Adamm: n jest liczbą całkowitą?

off: tak jest napisane w treści zadania

Adamm: w(x) = xⁿ−nx+n−1, w(0) w'(x) = nxⁿ⁻¹−n = n(xⁿ⁻¹−1)≥0 dla x≥1, n≥1 Ale w(0) = n−1 ≥ 0, w(1) = 0 ≥ 0, w(2) = 2ⁿ−n−1 więc w(x) ≥ 0 dla x ≥ 0. W dodatku, w(2) ≥ 1 dla n≥2 Zatem po odjęciu od pierwszej równości drugą, mamy x_iⁱ−ix_i+i−1 = 0, 1≤i≤n. Stąd x_i = 1 dla 2≤i≤n, a zatem i x₁ = 1.

off: Czemu po odjęciu równości dostaję x_iⁱ−ix_i+i−1=0, skąd to się bierze?

Adamm: No... (x₁−1)+(x₂²−1)+...+(x_nⁿ−1) = 0 (x₁−1)+2(x₂−1)+...+n(x_n−1) = 0