pierwiastki
gerifer: Wyznacz wszystkie rzeczywiste a takie że wielmiany x2+ax+1 oraz x2+x+a mają co najmniej
jeden pierwistek wspolny.
10 lip 21:36
ICSP: dla x = 1 oba wielomiany przyjmują taką samą wartość dla dowolnego a ∊ R
10 lip 21:38
gerifer: Czyli że dla każdego a?
10 lip 21:58
ICSP: tak
10 lip 22:03
Szkolniak: Niech: f(x)=x
2+ax+1 i g(x)=x
2+x+a
funkcja f:
Posiada przynajmniej jeden pierwiastek wtedy, gdy Δ≥0:
Δ≥0 ⇔ a
2−4≥0 ⇔ a∊(−
∞;−2>∪<2;+
∞)
| | −a−√a2−4 | | −a+√a2−4 | |
Wtedy: x1= |
| i x2= |
| |
| | 2 | | 2 | |
funkcja g:
| | 1 | |
Analogicznie jak w 'f': a≤ |
| |
| | 4 | |
Część wspólna z obu zbiorów rozwiązań: a≤−2.
| | −1−√1−4a | | −1+√1−4a | |
Wtedy: x1= |
| i x2= |
| |
| | 2 | | 2 | |
Teraz pierwiastki wspólne:
1) −a−
√a2−4=−1−
√1−4a
2) albo: −a−
√a2−4=−1+
√1−4a
3) albo: −a+
√a2−4=−1−
√1−4a
4) albo: −a+
√a2−4=−1+
√1−4a
ad 1)
−a−
√a2−4=−1−
√1−4a
√1−4a−
√a2−4=a−1
1−4a+a
2−4−2
√(1−4a)(a2−4)=a
2−2a+1
√(1−4a)(a2−4)=2−a
a
2−4−4a
3+16a=a
2−4a+4
−4−4a
3+16a=−4a+4
−4a
3+16a−4+4a−4=0
4a
3−16a+4−4a+4=0
4a
3−20a+8=0
a
3−5a+2=0
a
3−8−5a+10=0
(a−2)(a
2+2a+4)−5(a−2)=0
(a−2)(a
2+2a−1)=0 ⇔ a∊{2}
ad 2)
a
3−3a=2
a
3−3a−2=0
(a−2)(a+1)
2=0 ⇔ a∊{−1,2}
ad 3)
a
3−3a+2=0
a
3−a−2a+2=0
a(a+1)(a−1)−2(a−1)=0
(a−1)(a
2+a−2)=0
(a−1)
2(a+2)=0 ⇔ a∊{−2,0}
ad 4)
a
3−3a=−2
a
3−3a+2=0 ⇔ a∊{−2,0}
Suma wszystkich zbiorów rozwiązań i iloczyn z dziedziną:
a∊{−2,−1,0,2} ∧ a∊(−
∞;−2>
a∊{−2}
Tak z czystej ciekawości, pomijając obliczenia, postanowiłem zrobić to zadanie w ten sposób i
pytanie brzmi czy nie o to tutaj chodziło, a jeśli tak, to czy jest moje rozwiązanie poprawne?
10 lip 22:37
Jerzy :
Raczej nie.Dla a = 0 x2 + 1 = 0 ( brak rozwiązań), ale x2 + x = 0 jedno rozwiązanie.
10 lip 22:42
Jerzy :
22:42 , to był komentarz do 22:03
10 lip 22:45
ICSP: Zamiast pierwiastek przeczytałem punkt
Czas umierać
10 lip 22:54
Jerzy :
Tak myślałem,bo „uczepiłeś” się x = 1
10 lip 22:58
Jerzy :
Ja też „palnąłem”: x
2 + x = 0 ( jedno rozwiązanie )
10 lip 23:00
ICSP: f(x) = x2 + ax + 1
g(x) = x2 + x + a
mają (przynajmniej) jeden wspólny pierwiastek to oznacza, ze istnieje x0 takie, ze f(x0) −
g(x0) = 0
czyli
ax0 + 1 = x0 + a
x0(a−1) = a − 1
jeśli a = 1 to f i g nie mają pierwiastków. Pozostaje zatem x0 = 1 czyli
1 + a + 1 = 0
a = −2
10 lip 23:14
ICSP: f(x0) − g(x0) = 0 i f(x0) = 0 v g(x0) = 0
10 lip 23:18