Rozwiąż równania Albert12: Witam, mam problem z rozwiązaniem tych zadań czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak się je robi? 1.Rozwiązać równanie stosując podstawienie u=y/x oraz rozdzielenie zmiennych xy'=x+2y 2.Rozwiązać równanie stosując metodę przewidywań y'+y=x+2sinx 3.Rozwiązać równanie stosując metodę uzmienniania stałej y'−y=xe^2x 4.Wyznaczyć rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego spełniające podane warunki początkowe y''+3y'+2y=0 y(0)=0, y'(0)=1

Albert12: szybciej

Jerzy : Masz kolego tupet.Już po egzaminie poprawkowym ?

Albert12: Nie, po prostu nie pamiętam już jak takie zadanie się robi

Albert12: I to "szybciej" nie jest moje, nie wiem skąd to się wzięło.

Jerzy : 1) y = u*x , y’ = u’*x + u Teraz podstaw do równania i spróbuj rozdzielić zmienne.

Albert12: u'*x + u = 1 + 2u x du/dx = 1 + u

Jerzy : OK. Teraz rozdziel zmienne.

Albert12: du/1+u = dx/x Nie jestem tylko pewien czy dobrze pozbyłem się tych x przy podstawianiu.

Jerzy : Dobrze.Teraz zcałkuj obustronnie.

Albert12: ln|1+u| + C = ln|x| + C

Jerzy : Lewa strona bez stałej i ciągnij dalej,za C z prawej wstaw lnC

Albert12: Czemu lewa jest bez stałej i czemu mam za C wstawiać lnC ?

Jerzy : Z lewej nigdy nie dodaje się stałej. Bo to też stała i dostajesz: 1 + u = Cx, u = Cx − 1 , y = Cx² − x

Jerzy : 3) Najpierw rozwiąż równanie y’ − y = 0

Albert12: Powinno być y'+y chyba, wtedy y = Ce^−x

Albert12: Jednak mi się pomyliło bez tego minusa przy x

Jerzy : Pisałem o zadaniu 3)

Albert12: y = Ce^x

Jerzy : Teraz: y’ = C’(x)*e^x + C(x)*e^x , postaw do równania wyjściowego i oblicz C(x)

Jerzy : C(x) = ∫xe^xdx i przez części.

Albert12: C’(x)*e^x + C(x)*e^x − Ce^x = xe^2x Nie jestem pewien do końca w jaki sposób policzyć to C(x).

Jerzy : Powinno być .... − C(x)e^x , bo uzmienniamy stałą.

Jerzy : Patrz 17:13 ,tak policzysz C(x) i wtedy ostatecznie: y = C(x)*e^x

Albert12: Skąd w 17:13 wzięło się to C(x)?

Jerzy : Z uzmiennienia stałej. y = C(x)*e^x i wtedy y’ = ....patrz 17:06

Albert12: Wybacz ale kompletnie mi się to pomieszało, czy mógłbyś napisać krokami co z czego wynika?

Jerzy : y = C*e^x ( tak obliczyłeś) Uzmienniamy stałą: y = C(x)*e^x i wtedy: y’ = ........ Po podstawieniu dorównania wyjściowego dostajemy: C’(x)e^x = xe^2x , czyli C’(x) = xe^x i całkujemy obustronnie , aby obliczyć C(x)

Albert12: Ok chyba rozumiem. Mam teraz parę spraw do załatwienia. Czy mógłbyś pomóc mi z dwoma przykładami nieco później, byłbym niezmiernie wdzięczny.