algebra - grupa i element neutralny travolta: hej, mam problem z zadaniem z algebry. Zalozmy, że (G,+) jest grupą i, że jesli x+x=x to x=e (element neutralny). z definicji grupy i elementu neutralnego wiemy, ze a+e=e, ale jak udowodnic, ze e+a=e?

ite 🚒: Ten zbiór G ma tylko jeden element?

travolta: mam tylko takie informacje w zadaniu, ze (G, +) jest grupą i mam wykorzystać fakt, że jeśli g+g=g to g=e moje zadanie polega na udowodnieniu, ze istnieje dokładnie jeden element neutralny i to probuje pokazać, przez dowód nie wprost, że są 2 elementy neutralne tj. a+e₁=a oraz a+e₂=a i wszystko by sie zgadzało gdybym jeszcze potrafił to udowodnić

jc: x+x=x ⇒ x=e pytamy, o implikację a+e = a ⇒ e+a = a czy nie tak powinno być? Wypisz dokładnie wszystkie aksjomaty.

travolta: tu cała tresc zadania i zrobiony poprawnie podpunkt a. na ktorym powinienem sie opierać w b (o ktorym tutaj napisalem) https://drive.google.com/file/d/10LYeiIcK8JZ0RNO888fJXkVudCNO243g/view?usp=sharing

travolta: a tu moja próba z b https://drive.google.com/file/d/14XLhLOVNxglG2owe8QzjCBvSvIkzOchD/view?usp=sharing

jc: Jeśli mamy grupę, to implikacja x+x=x ⇒ x=e nic nowego nie daje, bo tak jest w dowolnej grupie. a+e=e, jeśli tak jest dla każdego a, to G ={e}, jak napisał ite. a wtedy e+a=e, bo a=e (nic więcej nie mamy).

Adamm: Gdyby były dwa elementy neutralne, to e = ef = f. Ogólniej, jeśli e jest elementem neutralnym lewostronnym, a f jest elementem neutralnym prawostronnym, to e = f. Zatem jest po prostu elementem neutralnym, a innych elementów neutralnych, czy to prawo, czy lewostronnych, nie ma.