sześciokąt com: Dany jest sześciokat ABCDEF o wszystkich katach wewnetrznych po 120^o. Niech G,H,I,J,K,L bedą środkami boków sześciokta ABCDEF.

	√3
Wykaż że obwód ABCDEF ≥		* obwód GHIJKL.
	2

getin: Niech bok sześciokąta ABCDEF jest równy 2a, gdzie a>0 Niech G będzie środkiem boku AB oraz H będzie środkiem boku BC Wówczas, z tw. cosinusów w ΔGBH

	1
GH2 = a2 + a2 − 2*a*a*cos120o, gdzie cos120o = cos(180o−60o) = −cos60o = −
	2

	1
GH2 = 2a2 −2a2*(−		)
	2

GH² = 3a² GH = √3a Obw_ABCDEF = 6*2a = 12a Obw_GHIJKL = 6*√3a = 6√3a

√3		√3
	*ObwGHIJKL =		*6√3a = 9a
2		2

12a ≥ 9a więc podany w treści zadaniu warunek jest spełniony

ite: Czy w tym rozwiązaniu robisz założenie, że sześciokąt ABCDEF jest foremny?

com: getin ale ten szeciokąt nie musi byc foremny.

getin: tak zrobiłem takie założenie, dla foremnego własność działa

getin: no przeciwległe boki niech będą równe 2x, 2y, 2z i wtedy wychodzi coś takiego

	√3
4(x+y+z) ≥		(√x2+y2+x*y + √y2+z2+y*z + √x2+z2+x*z)
	2

tylko mi nie wiadomo jak to teraz udowodnić może z nierówności między średnimi ?

com: to zadanie jest *, w porównaniu do tych poprzednich

getin: chyba mam pomysł postaraj się udowodnić trzy nierówności

	√3
2(x+y) ≥		*√x2+y2+x*y
	2

	√3
2(x+z) ≥		*√x2+z2+x*z
	2

	√3
2(y+z) ≥		*√y2+z2+y*z
	2

po dodaniu stronami tych nierówności otrzymasz to co trzeba udowodnienie każdej z tych trzech nierówności chyba będzie najprościej zrobić, podnosząc każdą z nich do kwadratu

123: a przeciwległe muszą być równe ?

com: getin a te nierównosci są prawdziwe?

ite:

ite:

ite: rysunek mi zniknął...

getin: tak, przykładowo udowodnię pierwszą

	√3
2(x+y) ≥		*√x2+y2+x*y
	2

podnoszę stronami do kwadratu

	3
4(x+y)2 ≥		(x2+y2+x*y) |*4
	4

16(x+y)² ≥ 3(x²+y²+x*y) 16x²+32x*y + 16y² ≥ 3x²+3y²+3x*y 13x²+29x*y+13y² ≥ 0 co jest prawdą dla dowolnych x,y>0 gdyby nawet przeciwległe boki nie musiały być równe to sobie trzeba wymyślić 6 literek i tego typu nierówności udowadniać po kolei

com: A przeciwległe boki w przy takiej treślsci muszą być równe?

getin: chyba nie muszą

ite: tutaj https://prnt.sc/tahpj9 widać, że każdy bok może mieć inną długość, są tylko parami równoległe (120^o+120^o+120^o=360^o)

com: Więc z tymi nierównościami getina może być ciężko dla sześciu niewiadomych

ite: Tych, którzy prawdziwie kochają liczenie, to nie jest przeszkoda! Im więcej niewiadomych tym lepiej.

ite: *Dla tych

com: Ok ite może ktoś pomoze zatem z tymi zmiennymi

ite: Akurat chodziło mi to, że to liczenie zostaje dla cb, bo tu nikt inny nie chyba nie jest aż tak pracowity, żeby w wakacje za innych tyle obliczeń robić.