Trójmian kwadratowy Szkolniak: Dany jest trójmian kwadratowy T(x) = x²+4x+2. Dla liczby całkowitej dodatniej n definiujemy P_n(x)=T(T(. . . T(x). . .)) (we wzorze T występuje n razy). W zależności od n wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie P_n(x) = 0. Jest ktoś w stanie podać jakąś wskazówkę jak się za to zabrać?

Mila: P₁(x)=T(x) P₁(x)=0⇔ (x+2)²=2 x=−2+√2 lub x=−2−√2 P₂(x)=[T(x)]²+4*T(x)+2⇔(x²+4x+2)²+4*(x²+4x+2)+2=0 x²+4x+2=t .... P₂(x)=0⇔x=−2+⁴√2 lub x=−2−⁴√2 dalej sam

Szkolniak: Dobrze rozumiem, że P₃(x) będzie wygłądało tak: P₃(x)=[(x²+4x+2)²+4(x²+4x+2)+2]²+4[(x²+4x+2)²+4(x²+4x+2)+2]+2?

Mila: Tak

Szkolniak: Teraz naprawdę trzeba wszystko wymnażać i rozwiązać takie równanie?

Mila: Dwa razy podstawienie:

Szkolniak: Niech x²+4x+2=t, wtedy: (t²+4t+2)²+4(t²+4t+2)+2=0 niech t²+4t+2=p, wtedy: p²+4p+2=0 Δ=8=(2√2)² p₁=−2−√2 v p₂=√2−2 t²+4t+2=−2−√2 v t²+4t+2=√2−2 t²+4t+√2+4=0 v t²+4t+4−√2=0 Δ=−4√2<0 Zajmuję się równaniem: t²+4t+4−√2=0 Δ=4√2=2^5₂ ⇒ √Δ=2^5₄

	−4−254
t1=		=−2−4√2 v t2=−2+4√2
	2

x²+4x+2=−2−⁴√2 v x²+4x+2=−2+⁴√2 x²+4x+4+⁴√2=0 v x²+4x+4−⁴√2=0 Δ<0 Δ=4*⁴√2=2^9₄ ⇒ √Δ=2^9₈ Stąd rozwiązania:

	−4−298
x=		=−2−8√2 v x=−2+8√2
	2

Zauważam zależność, że rozwiązaniami równania P_n(x)=0 są: I dla n=1: x=−2−√2 v x=−2+√2 II dla n>1 ∧ n∊ℤ:

	1
x=−2−2(12)n v x=−2+2(12)n | potęga to (		)n
	2

Pomijając już tego obliczeniowego tasiemca, końcowy wniosek poprawny?

Adamm: To teraz to udowodnij, indukcyjnie

Mila: Widzę, że kochasz Δ. Zmień trochę zwyczaje, czasem warto inaczej x²+4x+2=−2−⁴√2 v x²+4x+2=−2+⁴√√2⇔ (x+2)²−4+2=−2−⁴√2 v (x+2)²−4+2=−2+⁴√2 (x+2)²=−⁴√2 brak rozw. rzeczywistych lub (x+2)²=⁴√2⇔ x=−2+⁸√2 lub x=−2−⁸√2

Mila: Adamm już po sesji? Dobrze, że tu jesteś, coś ostatnio nie wiedziałam Cię

Adamm: Po prostu się nie afiszuję

Szkolniak: Czy ten dowód powinienem przeprowadzić rozpoczynając od n=2?

Adamm: Od n = 1.

Szkolniak: Hmm.. szczerze mówiąc nie mam pojęcia jak ten dowód przeprowadzić − więc chyba odpadam.