Teoria Liczb Szkolniak: Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n w przedziale [n, 2n] leży liczba całkowite dodatnia, która jest iloczynem dwóch liczb pierwszych. Jak się zabrać za takie zadanie?

wredulus_pospolitus: A czy jesteś w stanie udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej k w przedziale [k, 2k] leży liczb pierwsza Jeżeli tak to zauważ, że wtedy dla n = 2k masz wykazane, że: 1) w przedziale [k , 2k] mamy liczbę pierwszą 'p' 2) więc w przedziale [2k , 4k] (czyli [n, 2n]) mamy liczbę postaci 2*p czyli iloczyn dwóch liczb pierwszych.

Dede: A według mnie, dla n = 1 mamy sprzeczność. Dostajemy przedział [1, 2]. Jedyna liczba pierwsza to 2, ale nie zapiszemy jej w postaci iloczynu dwóch liczb pierwszych, bo 1 taką liczbą nie jest.

Dede: Oczywiście miałem na myśli, że żaden iloczyn liczb pierwszych nie będzie leżał w tym przedziale, bo najmniejszy taki iloczyn wynosi 6. Wynika to z tego, że dwie najmniejsze liczby pierwsze to 2 oraz 3.

Bleee: Dede masz rację, ale też trochę się mylisz − najmniejszy iloczyn to 4 = 2*2

janek191: Trzeba poprawić, że to tw. zachodzi dla każdej liczby n ∊ℕ₁

janek191: Miało być n ∊ ℕ₂

Dede: Fakt, coś sobie zarejestrowałem, że mają być różne Janek, tak, można poprawić, ale jeśli w treści jest "dla każdego" i tak brzmiałoby zadanie, to wskazanie powyższego n powinno kończyć zadanie