Największa wartość sumy AHQ: Wyznacz największą wartość sumy ∑_1≤i<j≤n x_ix_j(x_i+x_j), gdzie x₁, x₂, ..., x_n są takimi liczbami nieujemnymi, że ∑_i=1ⁿ x_i = 1

jc:

	1
suma =		(∑ xixj(xi+xj) − ∑xx xi (xi + xi))
	2

=∑x_i² x_j − ∑x_i³ = ∑x_i²(1−x_i), ∑ już bez żadnych ograniczeń funkcja f(x)=x²(1−x) jest wypukła, x∊[0,1].

1		1
	∑f(xi) ≤ f(		∑xi)
n		n

Równość mamy dla równych składników. Dokończ sam.

AHQ: Dlaczego f(x) jest wypukła na [0;1] ?

jc: Nie jest To weźmy f(x)=x(1−x), teraz już f jest wypukła. ∑x_i f(a_i) ≤ f(∑x_i a_i) przy założeniu, że ∑x_i=1, x_j≥0. W szczególności suma = ∑x_i f(x_i) ≤ f(∑x_i²) ≤ 1/4 Czy można te dwie nierówności zamienić na równość? Nie można. No to nie wiem. Może metody analityczne? 2x_i − 3x_i²+k=0, ∑x_i=1, k to mnożnik Lagrange.

AHQ: Hej, ale jest dobrze Przez pomyłkę zapisałeś nierówność Jensena dla funkcji wklęsłych, a napisałeś, że f(x) jest wypukła. Po korekcji tego będzie już ok, czyż nie ?

AHQ: f(x) = x_i²(1−x_i) jest wklęsła dla x∊[0;1] Zapisujemy nierówność Jensena dla funkcji wklęsłych: ∑_i=1ⁿ a_if(x_i} ≤ f(∑_i=1ⁿ a_ix_i) W naszym przypadku mamy:

1		1
	∑f(xi) ≤ f(		∑xi) // *n
n		n

	1		1		n(n−1)
∑f(xi) ≤ n* f(		∑xi) = n*f(		) =
	n		n		n3

AHQ:

	n(n−1)
Oczywiście,		zbiega do 0, więc przyjmuje największą wartość dla n=2.
	n3

	1
Tak więc jeżeli mamy warunek x1+x2+...+xn=1 to musiałoby być x1=x2=		,
	2

a x₃=x₄=...=x_n=0

AHQ:

	1
Więc liczymy 2f(		)
	2

	1		1		1		1
2f(		) = 2		(		) =
	2		4		2		4

Chyba styknie co nie ?

jc: Funkcja ma punkt przegięcia w 1/3. Wydaje mi się, że punkty trzeba wybrać różnie: część tak, część inaczej. Spróbuj dla n=3. S=(x+y)xy+(y+z)yz+(z+x)zx x=y=z=1/3 daje S=2/9 x=y=1/2, z=0 daje S=1/4 1/4 > 2/9

jc: Masz rację, gotowe. Skoro mamy 1/4, a więcej być nie może. Nie wiem, skąd mi przyszło do głowy, że równości być nie może. Tylko, czy to, co napisałem jest poprawne. f(x)=x(1−x), na pewno funkcja wypukła do góry. ∑x_i=1, x_j≥0 ∑x_ib_i(1−b_i) =∑x_i f(b_i) ≤ f(∑x_i b_i) ≤ 1/4