analiza Anka: Jak obliczyć całkę z 6x√x−x²

Mariusz: ∫6x√x−x²dx √x(1−x)=xt x(1−x)=x²t² 1−x=xt² 1=x+xt² x(1+t²)=1

	1
x=
	1+t2

	0*(1+t2)−1*2t
dx=		dt
	(1+t2)2

	2t
dx=−		dt
	(1+t2)2

	t
√x(1−x)=
	1+t2

	6	t	(−2t)
∫				dt
	1+t2	1+t2	(1+t2)2

	−12t2
∫		dt
	(1+t2)4

	−12t2		−12t2−12		12
∫		dt=∫		dt+∫		dt
	(1+t2)4		(1+t2)4		(1+t2)4

	−12t2		dt		dt
∫		dt=−12∫		+12∫		dt
	(1+t2)4		(1+t2)3		(1+t2)3

	dt		(1+t2)−t2
∫		=∫		dt
	(1+t2)n		(1+t2)n

	dt		dt		t	(n−1)(−2t)
∫		=∫		+∫			dt
	(1+t2)n		(1+t2)n−1		2n−2	(1+t2)n

	dt		dt		1	t
∫		=∫		+			−U{1}{2n−
	(1+t2)n		(1+t2)n−1		2n−2	(1+t2)n

	dt
2}∫
	(1+t2)n−1

	dt		1	t		2n−3		dt
∫		=			+		∫
	(1+t2)n		2n−2	(1+t2)n		2n−2		(1+t2)n−1

	1	t		5		dt		dt
12(			+		∫		)−12∫
	6	(1+t2)3		6		(1+t2)3		(1+t2)3

	2t		dt		dt
=		+10∫		−12∫
	(1+t2)3		(1+t2)3		(1+t2)3

	2t		dt
=		−2∫
	(1+t2)3		(1+t2)3

	2t		1	t		3		dt
=		−2(			+		∫		)
	(1+t2)3		4	(1+t2)2		4		(1+t2)2

	2t		1	t		3		dt
=		−			−		∫
	(1+t2)3		2	(1+t2)2		2		(1+t2)2

	2t		1	t		3		1	t		1		dt
=		−			−		(			+		∫		)
	(1+t2)3		2	(1+t2)2		2		2	1+t2		2		1+t2

2t

1

t

3

t

3

dt

=

−

−

−

∫

(1+t2)3

2

(1+t2)2

4

1+t2

4

1+t2

	1
x=
	1+t2

	t
√x(1−x)=
	1+t2

	1		3		3		√x−x2
2x2√x−x2−		x√x−x2+		√x−x2+		arctg(		)+C
	2		4		4		x

	1		3		√x−x2
=		(8x2−2x−3)√x−x2−		arctg(		)+C
	4		4		x

Można było też trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem zapisać w postaci kanonicznej i liczyć przez części