Generator grupy, sprawdzenie czy grupa jest cykliczna Agata122: Jak sprawdzić czy grupa jest cykliczna? Wystarczy sprawdzić czy ma generator? Z₅^* Stworzyłam taką tabelkę: https://i.imgur.com/PUmZMpl.png Wystarczy pokazać, że grupa posiada chociaż jeden generator? W tym przypadku każda liczba Z₅^* jest generatorem oprócz zera? w sensie <1>, <2>, <3>, <4> Dobrze rozumiem? Jak sprawdzać grupy dla większych zbiorów np. Z₃₀^*? Metoda z tabelką byłaby kompletnie męcząca

Adamm: Jest cykliczna, jeśli jest generowana przez dokładnie jeden element. Z₃₀^* ma 8 elementów. Z₈ ma jeden element rzędu 2 Ale jeśli Z₃₀^* ma jeden element rzędu 2, to x = −x, więc x = 15∉Z₃₀^*

ABC: "Jest cykliczna, jeśli jest generowana przez dokładnie jeden element" grupa cykliczna może mieć wiele generatorów

Agata122: @Adamm Mógłbyś dokładnie po kolei wyjaśnić jak to policzyć? Oprócz generatora muszę sprawdzać wszystkie elementy odwrotne?

ABC: najpierw sprawdź przemienność , jeżeli grupa nie jest abelowa to nie może być cykliczna

Adamm: > najpierw sprawdź przemienność , jeżeli grupa nie jest abelowa to nie może być cykliczna Że co

Adamm: > grupa cykliczna może mieć wiele generatorów Nie w tym sensie dokładnie jeden.... toż to pedantyzm. G jest cykliczna jeśli G = <g> dla pewnego g∊G

Adamm: > Mógłbyś dokładnie po kolei wyjaśnić jak to policzyć? > Oprócz generatora muszę sprawdzać wszystkie elementy odwrotne? > 11 cze 13:50 Dobra, wcześniej się pomyliłem, więc policzę elementy rzędu 2 w Z₃₀^* jeszcze raz No, w Z₈ masz tak. 2x = 0 (mod 8) ⇔ x = 0 (mod 4) ⇔ x = 0 lub x = 4 A w Z₃₀^* korzystając z (−x)² = x² i licząc na palcach mamy x² = 1 ⇔ x = 1, 11, −11, −30 Ale izomorfizm zachowuje rząd elementu, ich liczba powinna być taka sama