Rozwiąż równanie Czarniecki: Rozwiąż równanie 4sin²2xsin2x+3sinxsin2x=sin2x+cosx+cosxcos2x W przedziale <−π;π>

fil: na pewno 4sin²2xsin2x?

Czarniecki: Pomyłka. 4sin²xsin2x

fil: 8sin³xcosx + 6sin²xcosx = 2sinxcosx + cosx + cosx(2cos²x − 1) 8sin³xcosx + 6cosx(1 − cos²x) = 2sinxcosx + 2cos³x 8sin³xcosx − 2sinxcosx + 6cosx − 8cos³x = 0 cosx(8sin³x − 2sinx + 6 − 8(1 − sin²x)) = 0 cosx(8sin³x − 2sinx + 6 − 8 + 8sin²x) = 0 cosx(8sin³x + 8sin²x − 2sinx − 2) = 0 cosx(8sin²x(sinx + 1) − 2(sinx + 1)) = 0 cosx(sinx + 1)(8sin²x − 2) = 0

	1
cosx = 0 v sinx = −1 v sinx = ±
	2

23: (sinx+1)(2cosx)(4sin²x−1)=0 mi wyszło ale mogłem się machnąć

fil:

Czarniecki: Nie wpadłbym na takie rozwiązanie w życiu

Czarniecki: Przez to ile tego tam jest w tym wzorze

Mariusz: cosx(sinx + 1)(8sin²x − 2) = 0 Ja bym ten czynnik jeszcze bardziej rozłożył 2cosx(sinx + 1)(4sin²x − 1) = 0 2cosx(sinx + 1)(2sinx − 1)(2sinx+1) = 0

fil: Mozna jak najbardziej, teraz pierwiastki sa jeszcze bardziej widoczne

Mariusz: Fil pełny rozkład się przydaje np masz taką własność całek ∫af(x)dx=a∫f(x)dx oraz ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx Z powyższego wnosisz że funkcję wymierną łatwiej będzie ci scałkować gdy rozłożysz ją na sumę ułamków prostych czyli ułamków postaci

Ak		Bmx+Cm
	oraz
(x−a)k		(x2+px+q)m

gdzie k,m∊ℕ₊ oraz p²−4q < 0 Podobnie jest w przypadku przekształcenia Laplace L(f(t))=∫₀^∞f(t)e^−stdt Przekształcenie Laplace też spełnia powyższą własność tzn L(af(t))=aL(f(t)) oraz L(f(t)+g(t))=L(f(t))+L(g(t)) zatem wnosisz że jeśli przekształcenie Laplace da ci funkcję wymierną to łatwiej ją odwrócisz gdy rozłożysz tę funkcję wymierną na sumę ułamków prostych Kolejny przykład rozwiązując liniowe równanie rekurencyjne funkcją tworzącą dostajesz funkcję wymierną Funkcję tę łatwiej rozwiniesz w szereg jeśli zastosujesz rozkład który przypomina rozkład na sumę ułamków prostych Po takim rozkładzie łatwiej będzie ci skorzystać z szeregu geometrycznego i jego pochodnych bądź z uogólnionego dwumianu Newtona Innym sposobem na wydobycie współczynników rozwinięcia w szereg jest policzenie n. pochodnej a jak wiadomo powyższa własność jest zachowana także dla pochodnej więc rozkład na sumę ułamków prostych przydaje się także do policzenia n. pochodnej