Zbadać punkty stacjonarne funkcji Ania: Zbadać punkty stacjonarne funkcji f(x) = −x₁²−6x₂²−23x₃²−4x₁x₂+6x₁x₃+20x₂x₃

Jurek: policz pochodne

Ania: Tak mi wyszło: 6x₃−4x₂−2x₁, ale nie wiem czy dobrze, jeśli tak to co powinnam zrobić dalej ?

WhiskeyTaster: Najpierw powinnaś poprawnie zapisać funkcję. Podana przez Ciebie funkcja jest funkcją stałą. Dlaczego? Jako argument przyjmuje coś, co w ogóle nie występuje we wzorze funkcji, więc f'(x) = 0. Jeśli jednak przyjąć, że f(x₁, x₂, x₃) = ..., to już mamy funkcję trzech zmiennych i faktycznie możemy coś z tym zrobić.

df
	= −2x1 − 4x2 + 6x3
dx1

df
	= −12x2 − 4x1 + 20x3
dx2

df
	= −46x3 + 6x1 + 20x2
dx3

Punkty stacjonarne mają to do siebie, że musi zajść:

df		df		df
	=		=		= 0.
dx1		dx2		dx3

Wobec czego dostajemy układ równań: −2x₁ − 4x₂ + 6x₃ = 0 −12x₂ − 4x₁ + 20x₃ = 0 −46x₃ + 6x₁ + 20x₂ = 0 −2x₁ − 4x₂ + 6x₃ = 0 − 4x₁ −12x₂ + 20x₃ = 0 6x₁ + 20x₂ −46x₃ = 0 Więc rozwiązujemy układ jednorodny związany z macierzą −2 −4 6 −4 −12 20 6 20 −46 Wyznacznik macierzy jest różny od zera, więc stąd wiemy, że wektory są liniowo niezależne. Wobec tego układ jednorodny związany z tą macierzą ma dokładnie jedno rozwiązanie − wynika to z twierdzenia Croneckera−Capellego, bo jak widzimy, wektory są liniowo niezależne (wyznacznik zerowy), więc te wektory generują wektor zerowy w dokładnie jeden sposób . A to oznacza, że jedyny punkt stacjonarny powyższej funkcji to (0, 0, 0). Oczywiście można zrobić to bez macierzy i wiadomości o macierzach − w tym celu wystarczy, że będziemy po kolei wyznaczać sobie niewiadome z równań i dojdziemy do tego samego. I chętnie się dowiem, skąd Ci wyszedł taki wynik, bo nieco odbiega od mojego

Ania: Na stronie internetowej wpisywałam tą pochodną i takie coś mi wyskoczyło W takim razie tutaj już rozumiem co i jak, ale jakbyś mógł mi jeszcze powiedzieć, jak rozwiązywać podobne zadanie: Określić zbiór punktów stacjonarnych funkcji f(x₁, x₂) = x₁²+x₂²+βx₁x₂+x₁+2x₂ w zależności od parametru β. Które z nich są minimami globalnymi?

WhiskeyTaster: Zanim zacznę − czy na pewno chodzi o znalezienie minimów globalnych, a nie lokalnych? Pytam, bo minimum globalne jest tylko jedno

Ania: Tak, chodzi o globalne

WhiskeyTaster: No to chyba łatwe nie będzie Najpierw zacznijmy od wyznaczenia pochodnych cząstkowych do drugiego rzędu włącznie:

df
	= 2x1 + βx2 + 1
dx1

df
	= 2x2 + βx1 + 2
dx2

d2f
	= 2
dx12

d2f
	= 2
dx22

d2f
	= β
dx1x2

	df		df
Z warunku na punkty stacjonarne dostajemy:		=		= 0, co nam daje układ
	dx1		dx2

równań: 2x₁ + βx₂ + 1 = 0 2x₂ + βx₁ + 2 = 0 I równoważnie: 2x₁ + βx₂ = −1 βx₁ + 2x₂ = −2 Rozważmy teraz układ jednorodny związany z powyższym układem równań. Zapisując w postaci macierzy mamy: 2 β β 2 Wyznacznik tej macierzy wynosi: 4 − β² = (2 − β)(2 + β) Teraz skorzystajmy z faktu, że jeśli mamy tyle równań, ile niewiadomych, to ten układ będzie oznaczony wtedy, kiedy związany z nim układ jednorodny ma dokładnie jedno rozwiązanie. Wobec tego wyznacznik musi być różny od zera. Stąd dla β ≠ ±2 wiemy, że układ jest oznaczony, zaś dla β = ±2 rozważymy osobne przypadki. Zajmijmy się najpierw przypadkami, gdy β = ±2. (1) Dla β = 2 macierz rozszerzona układu wygląda następująco: 2 2 | −1 2 2 | −2 Widzimy, że jest to układ sprzeczny. (2) Dla β = −2 2 −2 | −1 −2 2 | −2 Dodając 1*(I) do (II) otrzymujemy 2 −2 | −1 0 0 | −3 I tutaj również mamy układ sprzeczny. Tak więc rozwiązania mamy tylko dla β ∊ ℛ\{−2, 2} Dobrze, więc teraz należy określić punkty stacjonarne. W tym celu najwygodniej będzie skorzystać z metody Crameram, ponieważ mamy tylko dwie zmienne

	(−1)*(2) − (−2)β		2(β − 1)
x1 =		=
	4 − β2		4 − β2

	2*(−2) − β(−1)		β − 4
x2 =		=
	4 − β2		4 − β2

Teraz skonstruujmy macierz Hessego: 2 β β 2 I widzimy, że jest to macierz, którą już rozpatrywaliśmy Aby funkcja miała minimum, to musi zajść (przez to oznaczenie mam na myśli wyznacznik macierzy

	d2f
Hessego) H(f) > 0 oraz		> 0.
	dx12

	d2f
Widzimy, że		= 2 > 0. Więc wystarczy teraz, by H(f) = 4 − β2 > 0. Tu jak łatwo
	dx12

zauważyć, mamy do czynienia z funkcją kwadratową, więc H(f) > 0 dla β ∊ (−2, 2). No, tutaj były minima lokalne. Wydaje mi się, że musimy znaleźć infimum z wartości w tych punktach, które są minimami lokalnymi, by odnaleźć minimum globalne. Wobec tego trzeba podstawić x₁ oraz x₂ w miejsce argumentów i znaleźć najmniejszą wartość dla β ∊ (−2, 2). Później jak znajdę chwilę czasu, to spróbuję rozwiązać do końca

Ania: o jejku, dziękuję !