Całka potrójna lola456: Całka potrójna Mam problem z ruszeniem tego zadania: Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

x2

y2

z2

x2

y2

z2

(

+

+

)2 =

+

−

a2

b2

c2

a2

b2

c2

Nie wiem, jak z tego wzoru mogę wyciągnąć przedziały. Po prostu tego nie widzę, nie wiem też jak ewentualnie narysować coś takiego. Podejrzewam, że trzeba będzie przejść na współrzędne sferyczne. Proszę o jakąś pomoc

jc: Zapomnijmy o a,b,c (końcowy wynik pomnożysz przez abc i będzie dobrze). (x²+y²+z²)² = x²+y²−z² To jest bryła obrotowa, uzyskana przez obrót symbolu ∞ wokół osi pionowej.

lola456: A skąd ja mogę wiedzieć takie rzeczy ? Przejść sobie na współrzędne sferyczne i próbować to rysować? Niestety nikt mi nie pokazał jak robić takie zadania, a znalazło się ono w zestawie.

jc: Spójrz na hasła: leminiskata Bernouliego, twierdzenie Guldena. Wyszło mi π²/12, a w oryginalnym zadaniu π²abc/12, ale czy to jest dobrze?

piotr: https://math.stackexchange.com/questions/1615254/find-the-volume-of-the-solid-bounded-by-x2y2z22-x2y2-z2

jc: Inny sposób. Wykorzystam wzór na objętość bryły obrotowej. V=π ∫_a^b r(z)² dz U nas (r²+z²)² = r²−z².

	1−2z2 + √1−8z2
r+2 =
	2

	1−2z2 − √1−8z2
r−2 =
	2

V =π ∫_−1/√8^√8 (r₊² − r₋²) dz = π ∫_−1/√8^1/√8 √1−8z² dz

	π		π2
=		∫11 √1−u2 du =
	2√2		4√2

z=u/√8 Całka to po prostu pole półkola o promieniu 1, czyli π/2.

lola456: Dziękuję ślicznie za pomoc! Dzięki Wam trochę mi się rozjaśniło na ten temat