własności relacji michal: bardzo proszę o sprawdzenie rozumowania: Mam daną relację xRy ⇔ x+y=5 określoną na zbiorze liczb naturalnych. Jedyne pary spełniające tę relację to: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) zwrotność: − nie jest zwrotna, bo istnieje taki x∊N, że nie prawdą jest, że xRx, np. dla x=10 mamy 10+10=20≠5 przeciwzwrotność: − jest przeciwzwrotna, ponieważ w spisie par nie mamy żadnej pary (x,x) symetryczność: − jest, ponieważ 1R4 ma odpowiednik 4R1, a 2R3 ma 3R2 asymetryczność: − nie jest, ponieważ mamy np. 1R4 oraz 4R1 antysymetryczność: − nie jest, ponieważ mamy np. 1R4 i 4R1, ale 1≠4 przechodniość: − nie jest, ponieważ mamy np. 1R4 i 4R1, ale nie mamy 1R1 z góry dziękuję 

ite: Zgadza się. Lepiej zamiast "w spisie par nie mamy żadnej pary (x,x)", napisać, że żaden element nie jest w relacji sam ze sobą. Do przeciwzwrotności wystarczy, że jakakolwiek para (x,x) nie należy do relacji, tu nie należy żadna, więc oczywiście warunek że jakakolwiek jest spełniony.

michal: Dzięki! Mam jeszcze 2 pytania, które "wyszły w praniu" przy robieniu zadań: 1) Jeżeli mamy relację o parach z AxB (gdzie A≠B), np. {1,2,3}x{4,5,6}, to jak badamy (przeciw)zwrotność, bo w książce piszą jedynie o sytuacji w której mamy A² i wtedy robimy dla każdego x∊A, a tutaj mamy jednak dwa różne zbiory.. 2) jeżeli chcemy zbadać np. przechodniość (podobnie z antysymetrycznością), to mamy warunek (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz i co w sytuacji, gdy mamy np. dwie pary (1,3) i (2,7), a więc spełnione będzie xRy, ale już nigdy nie będzie spełnione yRz, czyli np. mamy 1R3, ale nie ma 3Rcoś − co wtedy?

ite: 1/ W definicji tych własności relacji jest powiedziane, że oba elementy pary mają należeć do tego samego zbioru (relacja na zbiorze A). I tylko taki przypadek rozpatrujemy. 2/ Zapisałeś tylko część warunku (czyli nie jest to cały warunek). Brakuje istotnej części!

michal: 1) więc jeżeli mam AxB (dla A≠B), to powinienem napisać, że przy tej relacji nie rozpatruje się zwrotności? 2) no tak.. nie zapisałem kwantyfikatorów, ale nadal nie wiem jak to ugryźć, bo jakby mieć (1 ∧ 0) ⇒ coś, to mamy 0⇒coś, a więc 1..?

ite: 1/ Dla tak określonej relacji zwrotność nie jest zdefiniowana, (więc się jej nie rozpatruje). 2/∀_x∊X (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz Relacja nie będzie przechodnia, jeżeli istnieją jakiekolwiek dwie pary należące do relacji, dla których implikacja jest fałszywa. A fałszywa będzie, gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy. Jeśli do relacji należą tylko takie dwie pary: (1,3) i (2,7), poprzednik będzie zawsze fałszywy → cała implikacja prawdziwa → relacja będzie przechodnia

michal: Teraz wszystko jest jasne. Bardzo dziękuję za pomoc!