Twierdzenie graniczne de Moivre’a-Laplace’a student: Hejka nie rozumiem co tutaj się dzieje, czy znajdzie się jakaś dobra duszyczka, która mi wytłumaczy krok po kroku co tutaj się dzieje? Rzucamy monetą. Przyjmijmy, że w pojedynczej próbie sukcesem jest wyrzucenie orła. Rzucamy monetą n = 1000 razy. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy i EX =n/2 = 1000 ·1/2 = 500, D² X = 1000 ·1/2·1/2 = 250. 1. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej 750 orłów? Chcemy obliczyć P(Sn ≥ 750). Obliczamy w przybliżeniu prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: P(Sn ≤ 750) = FSn(750) ∼= Φ500,5√(10) (750) ∼= Φ(15, 81)= Φ(5√10) ∼= 0, 999. P(Sn ≥ 750) ∼= 0, 0001 2. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania liczby orłów różniącej się o więcej niż 500 od liczby reszek? Obliczamy w przybliżeniu prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: FSn(750) − FSn(250) ∼= Φ500,5√10(750) − Φ500,5√10(250)= Φ(5√10)−Φ(−5√10) = 2Φ(5√10)−1 ∼= 2Φ(15, 81)−1 ∼= 0, 998. P(|X − 500| ≥ 250) ∼= 0, 002

Bleee: A możesz określić co z powyższego rozumiesz

student: Nie rozumiem od tego fragmentu, skąd się wzięło Φ500,5√(10) (750) ∼= Φ(15, 81)= Φ(5√10) ∼= 0, 999.

student: I jeszcze pytanie do wariacji, jeżeli ilość rzucanych monet zwiększe np. 2000 to czy wariacje również będę liczyć: 2000*1/2*1/2?

Bleee: Rozkład dwumianowy można 'przybliżyć' do rozkładu normalnego. Mając rozkład normalny N(np , √npq) wykonujesz standaryzację rozkładu normalnego w celu odczytania prawdopodobieństwa z tablic

Bleee: Student −−− rozkład dwumianowy ... wzory ogólne: Wartość oczekiwana: n * p Wariacja: n * p * q (czyli n * p * (1−p) )

student: A skąd to się wzieło Φ(15, 81)?

Bleee: emmm ... stąd: 5√10 ≈ 5* 3.1623 = 15,8115

student: A skąd się wzieło 5√10, bo tego nie rozumiem

student: I skąd wiadomo, że wartość tej dystrybuanty jest 0,999?

Bleee: n*p = 1000*0.5 = 500 <−−− EX √n*p*q = √1000*0.5*0.5 = √250 = √25*10 = 5√10 <−−− Var(X)

Bleee: Bo dla u ≥ 2.33 masz Φ(u) ≥ 0.999

student: Czyli wartość dystrybuanty to po prostu √n*p*q ?

Bleee: nieeee

Bleee: masz rozkład dwumianowy z n = 1000 ; p = q = 0.5 Krok 1. Sprawdzasz czy n*p > 5 oraz n*q > 5 Krok 2. Rozkład dwumianowy przybliżasz do rozkładu normalnego N(np, √npq) czyli do N(500, 5√10) Krok 3. Wykonujesz STANDARYZACJĘ rozkładu normalnego ... czyli 'sprowadzasz go do N(0,1)'

student: Znaczy nie wartość dystrybuanty tylko ten nawias Φ(15, 81) to jest √n*p*q ?

Bleee: Czyli robisz:

	750 − 500		250
P(X ≥ 750) = 1 − P(X ≤ 750) = 1 − Φ(		) = 1 − Φ(		) = ....
	5√10		√250

student: Dziękuję bardzo już rozumiem <3

Bleee: w tym przypadku akurat tak wyszło ... ale to jest 'przypadek' który NIE NALEŻY się sugerować powyżej napisałem Ci krok po kroku jak doszliśmy do wartości Φ(√250)