Dowód Maturzysta: Wykaż, że jeżeli x+y=4 to x³+y³≥16 Rozpisałem wzór skróconego mnożenia na (x+y)(x²−xy+y²) Podstawiłem 4(x²−xy+y²)≥16 x²−xy+y²≥4 Jeszcze równanie x+y=4 podniosłem do kwadratu i wyszło x²+y²=16 I wyszło mi, że 16−xy≥4

fil: x+y=4 |()² (x+y)²=16 (x+y)(x²−xy+y²)>=(x²+2xy+y² 3x²−6xy+3y²>=0 3(x−y)²>=0

Maturzysta: Ugh... to było proste Dzięki wilekie!

.: Jeszcze równanie x+y=4 podniosłem do kwadratu i wyszło x²+y²=16 i to jest błędny wynik!

fil: y=4−x Mozna tez inaczej − wiecej liczenia x+y=4 |³ x³+3x²y+3xy²+y³=64 x³+3xy(x+y)+y³=64 x³+12xy+y³=64 x³+y³=64−12xy x³+y³>=16 64−1xy>=16 −12xy>=−48 xy<=4 x(4−x)<=4 x²−4x+4>=0 (x−2)²>=0

Maturzysta: . Właśnie zorientowałem się jak dodałem zadanie, że tak się nie robi...

ICSP: a co to za używanie tezy w dowodzie? Punkciki lecą w dół.

23: ICSP to jak powinno być ?

fil: hmm, to mozna tak: y=4−x x+y=4|()³ x³+3x²y+3xy²+y³=64 x³+y³+3xy(x+y)=64 x³+y³=64−12xy x³+y³=64−48x+12x² x³+y³=12x²−48x+64 f(x)=12x²−48x+64

	482−48*64		2304−3072
q=		=		=16
	−48		−48

czyli f(x)>=16 i stad x³+y³>=16 −−> tak to moze wygladac?

ICSP: x³ + y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y) ≥ (x+y)³ − 3(x+y)² = 64 − 48 = 16 Nierówność wynika z następującej :

	x + y
xy ≤ (		)2
	2

Widać też kiedy mamy równość : x = y = 2

ICSP: x³+y³=64−12xy potem pojawia się jak z kaptura 12x²: x³+y³=64−12xy + 12x² aczkolwiek sam sposób jak najbardziej poprawny. Bierzesz lewą stronę tezy i z pomocą założenia pokazujesz, ze jest większa od 16. Prawej strony tezy w żaden sposób nie ruszasz.

23: Czyli nie można przekształcać tezy równoważnie, Poprzednie rozwiązania fil są za 0pkt na maturze ?

ICSP: a widziałeś chociaż jedno malutkie słowo o przekształceniach równoważnych? Bo ja w żadnym z rozwiązań nie.

23: No nie widziałem. Czyli jakby dopisał: przekształcałem równoważnie byłoby ok ?

WhiskeyTaster: Nie można. Masz wykazać implikację. q − "x + y = 4" p − "x³ + y³ ≥ 16". Jeśli q, to p ⇔ q ⇒ p Jeśli p jest prawdą, to znaczy, że q ⇒ 1. Wobec czego poprzednik jest dowolny, a to niczego nie dowodzi, bo to może być prawda, ale również i fałsz, bo zarówno z prawdy jak i fałszu może wynikać prawda. Tak więc musimy przejść z założenia do tezy, nie na odwrót

ICSP: Uszłoby.

fil: zjadlem linijke: ....64−12x(4−x)

23: To jak mam udowdonij dla dowolnych x i y rzeczywistych zachodzi x²+y²>=2x nie moge sobie przerzucic i zauwazyc wzoru skroconego mnozenia piszac o rownowaznosci ?

ICSP: a nie łatwiej od razu zauważyć ten wzór i przerzucić? Nie musisz pisać o równoważności.

23: ICSP : Chodzi mi o zrozumienie na tej stronie Jakub tutaj też bierze teze i jedzie https://matematykaszkolna.pl/strona/2499.html czyli ma niepoprawnie ?

ICSP: Jest dobrze bo dodaje notkę o równoważności przekształceń. Ona jest w całym dowodzie najważniejsza.

Minato: Tylko, że x² + y² ≥ 2x nie jest prawdą dla dowolnych liczb rzeczywistych, np. dla x=1 i y=0 mamy L = 1²+0² = 1 P= 2*1 = 2 nie prawdą jest że 1 > 2

23: ICSP nie widzę roznicy w sposobie rozwiazania Jakuba i wyżej Maturzysty. Wskaż mi ją jak możesz.

23: Minato: zjadłem y noo chodzilo x²+y²>=2xy...

23: To czego tyczy sie uwaga WhiskeyTaster: "Nie można. Masz wykazać implikację. "

ICSP: u jakuba jest notka u maturzysty i fila notki nie ma więc udowodnili : x³ + y³ ≥ 16 ⇒ x + y = 4 przy czym w samym dowodzie wykorzystali informację x + y = 4

jc: x+y=4,

	(x+y)2+3(x−y)2		(x+y)3
x3+y3 = (x+y)(x2−xy+y2)=(x+y)*		≥		=16
	4		4