Rozwiązać równania rekurencyjne: klm: a n =7aⁿ⁻¹ − 10aⁿ⁻² + 3ⁿ z warunkami początkowymi a0 = a1 = 1 równanie jednorodne rozwiązałem 2 i 5 to rozwiazania. mam problem z niejednorodnym. podstawiłem do równania postać f wykładniczej an=ABⁿ A3ⁿ=7A3ⁿ⁻¹−10A3ⁿ⁻²+3ⁿ nie wiem co z tym dalej zrobic.

wredulus_pospolitus: A3ⁿ = A*9*3ⁿ⁻² 7A3ⁿ⁻¹ = A*21*3{n−2 3ⁿ = 9*3ⁿ⁻² rozwiązujesz

klm: doszedłem do takiego czegoś: c₁ 2ⁿ+c₂ 5ⁿ−3ⁿ⁺² /2

klm: jak obliczyc teraz c1 i c2?

Mila: (*) a_n =7a_n−1 − 10a_n−2 + 3ⁿ 1) Równanie charakterystyczne: x²−7x+10=0 x=2 lub x=5 2) a_n⁽¹⁾=A*2ⁿ+B*5ⁿ 3) a_n⁽²⁾=C*3ⁿ Podstawiamy do (*) C*3ⁿ=7*C*3ⁿ⁻¹−10*3ⁿ⁻²+3ⁿ

	1		1
C*3n−7*		*3n+10*		*3n=3n /:3n
	3		9

	7		10
C−		C+		C=1
	3		9

	9
C=−
	2

	9
4) an=A*2n+B*5n−		*3n
	2

	9
an=A*2n+B*5n−		*3n
	2

wyznaczamy wartości A i B korzystając z warunków początkowych

	9		11
a0=1=A+B−		⇔A+B=
	2		2

	27		29
a1=1=2A+5B−		⇔2A+5B=		⇔
	2		2

	13		7
A=		, B=
	2		6

	13		7		9
an=		*2n+		*5n−		*3n
	3		6		2

	13		7		1
an=		*2n+		*5n−		*3n+2
	3		6		2

======================

Mariusz: Funkcja tworząca byłaby wygodniejsza a jeśli już musisz rozwiązywać najpierw jednorodne a później szukać rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego to proponuję abyś Równanie jednorodne przekształcił w układ równań i rozwiązał go np potęgując macierz a rozwiązanie szczególne znalazł metodą uzmienniania stałych Metoda którą zaproponowałem jest analogiczna do tej używanej podczas rozwiązywania liniowych równań różniczkowych O uzmiennianiu stałych masz tu http://www-users.mat.uni.torun.pl/~much/RR/REKUR_2_liniowe_13xi2006.pdf Jak przekształcić równanie w układ równań a_n =7a_n−1 − 10a_n−2 a_n =7a_n−1 − 10b_n−1 b_n=a_n−1 Do potęgowania macierzy przydatny będzie jakiś rozkład macierzy