Zadania RubikSon: 1) Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi nierówność:

	2		1		1
(		)n++(		)n≥		.
	3		3		2n−1

	1
Próbowałem tutaj wyciągnąć najpierw (		)n przed nawias, lecz nie widziałem przyszłości
	3

dla tego rozwiązania. Innym razem użyłem indukcji, lecz tak samo. Czy zna ktoś jakieś zwięzłe rozwiązanie? 2) Z cyfr {0, 2, 4, 6} tworzymy liczbę 4−cyfrową, w której cyfry się nie powtarzają. Czy możliwe jest stworzenie takiej liczby, która byłaby kwadratem, sześcianem, lub wyższą potęgą liczby całkowitej? Tutaj chciałem na piechotę wyznaczyć wszystkie możliwe liczby i po rozkładzie na czynniki pokazać, że nie istnieją, ale pomyślałem, że istnieje jakiś sensowny sposób, aby bardziej to ogólnikowo rozwiązać. 3) Rozwiązać równanie:

x
	+4x=√3.
√1−x2

Tutaj przeniosłem 4x na drugą stronę, podniosłem całe równanie do kwadratu i wyszło równanie czwartego stopnia, które ciężko jest rozwiązać. Zauważyłem, że za x można wstawić y/2 upraszczając równanie, lecz nadal trudno go rozwiązać(pamiętałem o dziedzinie). 4)Udowodnij, że ciąg a_n = sin(n²) nie posiada granicy. Tutaj kompletnie nic nie znalazłem ciekawego, co mogło pomóc w rozwiązaniu tego zadania.

RubikSon: Pomógłby ktoś?

Godzio: Zadanie 1.

	2		1		1
(		)n + (		)n ≥ (		)
	3		3		2n−1

Użyję indukcji. Dla n = 1 mamy

2		1		1
	+		= 1 ≥		= 1
3		3		20

Załóżmy, że dla pewnego n ∊ N₊ zachodzi

	2		1		1
(		)n + (		)n ≥ (		), wówczas
	3		3		2n−1

	2		1
(		)n+1 + (		)n+1 =
	3		3

2		2		1		1		1
	((		)n + (		)n) −		*(		)n ≥zał
3		3		3		3		3

2		1		1		1
	*		−		* (		)n ≥
3		2n−1		3		3

2		1		1		1
	*		−		* (		)n =
3		2n−1		3		2

4		1		1		1
	*		−		*		=
6		2n−1		6		2n−1

3		1		1		1		1
	*		=		*		=
6		2n−1		2		2n−1		2n

Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność jest prawdziwa dla n∊N₊

RubikSon: Dzięki

ICSP: 2) suma cyfr jest podzielna przez 3 ale nie jest podzielna przez 9. Co oznacza, że można ją zapisać w postaci : 3k gdzie k ∊ C i 3 nie dzeli k zatem nie może być ona kwadratem ani wyższą potęgą liczby całkowitej.

RubikSon: Dzięki

jc: Jest lepiej, jeśli x ≥ 0, y≥0, to

xn+yn		x+y
	≥(		)n (wypukłość funkcji f(x)=xn).
2		2

Dla parzystych n nie trzeba nic zakładać o x i y. W zadaniu x=2/3, x=1/2.

prymas: 4) dwa ciagi √2πn+π/2 oraz √2πn przy n→∞oba daza do ∞ 3) (0,1) dziedzina, podstaw x=sin z z∊(0,π/2) tg z+4sin z=√3 x=sin(π/9)