ciągi salamandra: Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an) który zawiera zarówno wyrazy dodatnie, jak i ujemne, w którym a1=2 oraz drugi, czwarty i piąty wyraz są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wykaż, że suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu an jest równa sumie kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu. a1=2 a2=2*q a4=2*q³ a5=2*q⁴

	a1
S=
	1−q

Suma sześcianów: a₁³=8 a₂³=8*q³

	8
S=
	1−q3

Suma kwadratów: a₁²=4 a₂²=4*q²

	4
S=
	1−q2

	1−√5
Z tego wychodzi pasujące q=
	2

a2=1−√5 a4=4−2√5 a5=7−3√5 więc ciąg arytmetyczny o r=3−√5 Mogę w ten sposób to zrobić?

ICSP: Nie możesz. Wykorzystujesz tutaj tezę

salamandra: tak myślałem

salamandra: w takim razie z własności ciągu arytmetycznego? 2b=a+c?

ICSP: już prędzej

ICSP: to pozwoli na wyznaczenie równania na q. Odpowiednie przekształcenie tego równania da tezę.

salamandra: 2(2q³)=2q+2q⁴ 2q⁴−4x³+2q=0 q⁴−2x³+q=0 q(q³−2x²+1)=0

	1+√5		1−√5
q=0 v q=1 v q=		v q=
	2		2

wychodzi to samo, więc chyba ok

ICSP: Nie wiesz, że wartość otrzymana z równania:

8		4
	=
1 − q3		1 − q2

jest właściwa. Więc nie wychodzi to samo.

salamandra: przecież w pierwszym wpisie sprawdziłem kiedy ta równość zachodzi

ICSP: q³−2q²+1 = 0 4q³ − 8q² + 4 = 0 4q³ − 4 = 8q² − 8 4(1 − q³) = 8(1 − q²) q = 1 nie spełnia warunków zadania q = −1 nie spełnia równości q³ − 2q² + 1 Mogę więc założyć q ≠ 1 i q ≠ −1 i w efekcie podzielić równanie przez (1−q³)(1−q²)

8		4
	=
1 − q3		1 − q2

po lewej mam sumę sześcianów a po prawej sumę kwadratów. Teza jest zatem prawdziwa. □

salamandra: To w końcu jak policzę to "q" z własności ciągu arytmetycznego to mogę zrobić tak jak zrobiłem w pierwszym wpisie? albo po prostu podstawić to "q" pod to równanie i zobaczyć czy się zgadza lewa z prawą?

ICSP: Możesz podstawić q pod sumę sześcianów Potem pod sumę kwadratów i sprawdzić czy się zgadza. Ale w żadnym wypadku nie pod równanie.

salamandra:

	8		4
dlaczego nie moge pod to:		=		?
	1−q3		1−q2

ICSP: Ponieważ nie wiesz czy ta równość jest prawdziwa To jest teza −> aby ją udowodnić wykorzystujesz założenia i swoją widzę a nie samą tezę.

salamandra: Ok, rozumiem