Trygonometria i ograniczanie przedziału dla zmiennej pomocniczej Shizzer:

	π		π
Rozwiąż równanie 3sin(x −		) + cos(x +		) = 1 w przedziale <0, 2π>
	4		4

	π		π		π		π
cos(x +		= sin(		− x −		) = sin(		− x)
	4		2		4		4

sin(−x) = −sin(x)

	π		π
3sin(x −		) − sin(x −		) = 1
	4		4

	π		1
sin(x −		) =
	4		2

Łatwo i przyjemnie, ale tutaj miałem mały problem. Mianowicie chciałem wprowadzić zmienną pomocniczą na przykład t. Więc:

	π
t = x −
	4

Jaka jest tutaj dziedzina dla t jeśli dla x dziedziną jest przedział <0, 2π>? Wiem, że gdybym miał

	1
na przykład równanie sin2x =		to byłoby tak:
	2

t = 2x, t ∊ <0, 4π>

	π
A w przypadku gdy t = x −		tego przedziału się nie ogranicza? Jeśli nie to dlaczego?
	4

Byłbym wdzięczny za pomoc

ICSP: 0 ≤ x ≤ 2π

	π
teraz odejmij stronami
	4

Shizzer:

	π		7π
Zatem przedział dla t powinien wyglądać tak: <−		,		>?
	4		4

Tak myślałem, że wprowadzając zmienną pomocniczą w tym przypadku trzeba ograniczyć przedział,

	π
bo przecież wykres sinusa jest przesunięty o		w prawo. Dziwi mnie dlaczego we wszelkich
	4

rozwiązaniach z wprowadzoną zmienną pomocniczą nie zauważyłem tego ograniczenia, stąd moje pytanie

ICSP: raz się przesuwa dziedzinę raz nie. W równaniach bikwadratowych jest zwyczaj zawężania dziedziny po podstawieniu t = x² W innych równaniach się tego nie robi. Zresztą co za różnica −> wszystko zostanie zweryfikowane po powrocie do zmiennej x.

Shizzer: Rozumiem. Dziękuję bardzo za pomoc

Mila: Ja rozwiązuję tak:

	π		π		π		5π		π
x−		=		+2kπ lub x−		=		+2kπ /+
	4		6		4		6		4

	5π		13π
x=		+2kπ lub x=		+2kπ
	12		12

k=0

	5π		13π
x=		∊<0,2π> lub x=		∊<0,2π>
	12		12

dla k=1 rozw. wykraczają poza podany przedział.

	π
W przypadku np. sin(3x+		) też piszemy x=...+2kπ , a potem sprawdzamy,
	2

które rozw. mieszczą się w podanym przedziale.

Shizzer: Hmmm... Twoje rozwiązanie Milu jest właściwie prostsze i zapewne będę z niego korzystał. Z tego co widzę to na maturach jest zwykle jakiś krótki przedział więc tych podstawień k zazwyczaj jest mało. Dziękuję!

ICSP: Są jeszcze zadania z przesuniętym przedziałem? Tzn zamiast <0 , 2π> jest na przykład <1440π, 1442π> ?

Shizzer: Nie przypominam sobie, żebym widział/rozwiązywał podobne zadanie