Ciągi geometryczne. Dowód Maturzysta: Wykaż, jeżeli ciąg (a_n), dla n≥0, jest ciągiem geometrycznym to ciąg (b₁, b₂, b₃,...), gdzie b_n+1=a_n+2−a_n, dla n≥0, również jest ciągiem geometrzycznym.

wredulus_pospolitus: a_n+2 = a_n*q² więc b_n+1 = a_nq² − a_n = a_n(q²−1)

bn+1		an(q2−1)		an
	=		=		= q
bn		an−1(q2−1)		an−1

c.n.w.

getin: a_n = a₁*qⁿ⁻¹ a_n+2 = a₁*qⁿ⁺²⁻¹ = a₁*qⁿ⁺¹ b_n = a₁*qⁿ⁺¹ − a₁*qⁿ⁻¹ = a₁*qⁿ⁻¹(q²−1) b_n+1 = a₁*qⁿ⁺¹⁻¹(q²−1) = a₁*qⁿ(q²−1)

bn+1		a1*qn(q2−1)		qn
	=		=		= q = const.
bn		a1*qn−1(q2−1)		qn−1

	bn+1
Jeśli iloraz		jest stały (niezależny od n) to ciąg bn jest geometryczny
	bn

Koniec dowodu

fil:

bn + 2
	= const
bn + 1

bn + 2		an + 3 − an + 1
	=		=
bn + 1		an + 2 − an

	aqn + 2 − aqn		qn(q2 − 1)
=		=		= q + 1
	aqn + 1 − aqn − 1		qn(q − 1)

wredulus_pospolitus: @fil ... jak już to w liczniku masz aqⁿ(q − (1/q))

fil: wlasnie patrze skad u mnie to + 1 w finalnym wyniku

Maturzysta: Dziękuję bardzo! Będę pamiętał to na przyszłość.

fil: no, teraz wychodzi q