dowody algebraiczne m: Wykaż, że jeżeli a<b≤−2, to (rysunek)

Minato: Pokaż, że funkcja określona wzorem

	x3
f(x) =
	2+x4

jest malejąca w przedziale (−∞; −2)

n: A można wiedzieć dlaczego taki wniosek?

Minato: 1) zauważmy, że wyrażenia po prawej i lewej stronie nierówności różnią się tylko

	x3
zmienną, czyli są budowane wg schematu		= f(x).
	2+x4

2) mamy podany warunek a < b ≤ −2 (inaczej mówiąc, a jest mniejsze niż b) 3) mamy pokazać, że f(a) > f(b) (w języku funkcji oznacza to, że dla argument a, przyjmujemy większe wartości niż dla argumentu b), czyli a < b ⇒ f(a) > f(b) − definicja funkcji malejącej.

n: Dobra czyli muszę udowodnić, że f'(x) dla x < −2 przyjmuje wartości ujemne

	x2(x4−6)
f'(x)=−
	(x4+2)2

−x²(x⁴−6)=0 x=0 v x⁴=6 x = {−√6, 0, √6} − pierwiastki 4 stopnia Rysuję wykres... Czyli f'(x)<0 dla x<−√6

	√6		√6
Liczę f(√6)=		=		=0.3
	2+6		8

I się pogubiłem już

Minato:

	x3
f(x) =
	2+x4

	3x2(2+x4)−x3*4x3		−x6+6x2
f'(x) =		=		< 0
	(2+x4)2		(2+x4)2

−x⁶+6x² < 0 x²(6−x⁴) < 0 x =0 x = −⁴√6 x = ⁴√6 (na rysunku g(x) = −x⁶+6x²) f'(x) < 0 ⇔ x ∊ (−∞, −⁴√6) ∪ (⁴√6, −∞) → f'(x) maleje w (−∞, −⁴√6) oraz (⁴√6, −∞) −⁴√6 > −2, zatem f maleje na pewno w przedziale (−∞, −2). Dla a < b < −2 mamy f(a) > f(b), czyli

	a3		b3
		>
	2+a4		2+b4

n: Dziękuję za poświęcenie