równanie różniczkowe jc: Zadanie dla Mariusza. Rozwiąż równanie różniczkowe x (y')² + (2−x−y) y' + y = 0 Próbowałem, ale nie dałem rady.

Mariusz: Ja tylko przekształciłem do nieco innej postaci ale na razie nie mam pomysłu jak dalej rozwiązywać x(y')²+(2−x−y)y'+y=0 x(y')²+(2−x)y'−yy'+y=0 x(y')²+(2−x)y'+y(1−y')=0 y(y'−1)=x(y')²+(2−x)y'

	2−x		x(y')2
y=		+
	y'−1		y'−1

Równanie nie jest równaniem Lagrange Rozwiązanie równania kwadratowego daje

	(y+x−2)±√(y+x−2)2−4x
y'=
	2x

u=y+x−2 y=u−x+2 y'=u'−1

	u±√u2−4x
u'−1=
	2x

	u+2x±√u2−4x
u'=
	2x

2xu'=u+2x±√u²−4x

	du
2x		=u+2x±√u2−4x
	dx

2xdu=(u+2x±√u²−4x)dx

2x
	du=dx
u+2x±√u2−4x

	2x
x'=
	u+2x±√u2−4x

	2x
x'=
	u+2x±√u2−4x

	1
x=		(u2−z2)
	4

	1
x'=		(2u−2zz')
	4

1		1		1   (u2−z2) 2
	u−		zz'=
2		2		1   u+ (u2−z2)+√u2−(u2−z2)   2

1		1		1   (u2−z2) 2
	u−		zz'=
2		2		1   u+ (u2−z2)+z   2

	u2−z2
u−zz'=
	2u+2z+u2−z2

	u2−z2
zz'=u−
	2u+2z+u2−z2

	u(u+z)(u−z+2)−(u+z)(u−z)
zz'=
	(u+z)(u−z+2)

	(u+z)(u2−uz+2u−u+z)
zz'=
	(u+z)(u−z+2)

	u2−uz+u+z
z'=
	z(u−z+2)

	u2−uz+u+z
z'=
	z(u−z+2)

Mariusz: A jednak Lagrange

	2−x		(y')2
y=		+x
	y'−1		y'−1

	2		1		(y')2
y=		−x		+x
	y'−1		y'−1		y'−1

	(y')2−1		2
y=		x+
	y'−1		y'−1

	2
y=(y'+1)x+
	y'−1

a teraz różniczkujemy stronami wprowadzamy parametr i sprowadzamy do liniowego

jc: Dziękuję. Jedno rozwiązanie znam, ale teraz wydaje mi się, że źle napisałem równanie. Wiem, jeśli √x+√y=√2, to y spełnia równanie. Ale co w takim razie oznaczają inne rozwiązania?

Mariusz: W przypadku równania Clairaut wychodziło jedno rozwiązanie osobliwe i rozwiązanie ogólne Tutaj rozwiązanie otrzymamy w postaci parametrycznej i możemy próbować wyrugować parametr z równania Mamy rozwiązanie y'=y''x+(y'+1)−2(y'−1)⁻²y''

	2
0=y''x+1−		y''
	(y'−1)2

y'=p

	dp		2	dp
x		+1−
	dx		(p−1)2	dx

	2		dp
(x−		)		+1=0
	(p−1)2		dx

	2		dp
(−x+		)		−1=0
	(p−1)2		dx

	2		dp
(−x+		)		=1
	(p−1)2		dx

	dx
−x+U{2}{(p−1)2=
	dp

dx		2
	+x=
dp		(p−1)2

dx
	+x=0
dp

dx
	=−x
dp

dx
	=−dp
x

ln|x|=−p+ln|C| x=Ce^−p x(p)=C(p)e^−p

	2
C(p)'e−p−C(p)e−p+C(p)e−p=
	(p−1)2

	2
C(p)'e−p=
	(p−1)2

	2
C(p)'=		ep
	(p−1)2

	2		ep
C(p)=−		ep+2∫		dp
	p−1		p−1

	2		ep−1
C(p)=−		ep+2e∫		dp
	p−1		p−1

	2
C(p)=−		ep+2eEi(p−1)+C
	p−1

	2
C(p)=−		ep+2eEi(p−1)+C
	p−1

x(p)=C(p)e^−p

	2
x(p)=−		+2eEi(p−1)e−p+Ce−p
	p−1

	2
y(p)=−2+2e(p−1)Ei(p−1)e−p+C(p−1)e−p+
	p−1

I teraz chcesz ten parametr wyrugować ?

jc: Jeszcze raz bardzo dziękuję Jak powiedziałem, dopiero teraz uświadomiłem sobie, błędnie napisałem równanie. Gdyby chociaż wyszło coś prostego?

Mariusz: A ja tu pod koniec źle wymnożyłem Źle napisałeś równanie ale i tak dało się je rozwiązać tyle że postać parametryczna wymaga znajomości pewnej funkcji nieelementarnej a postać jawna wyrugowania parametru Równanie Lagrange to był mój pierwszy pomysł ale po przekształceniu zwątpiłem i próbowałem rozwiązać równanie kwadratowe A to poprawne równanie było łatwiejsze do rozwiązania ?

jc: Mariusz, napiszę o co chodzi. Pewien czas temu na forum pojawiło się takie zadanie: https://matematykaszkolna.pl/forum/401186.html Jakoś przypadkiem trafiłem z odpowiedzią. Potem spytałem kolegi, jakby to zrobił. Powiedział, że rozwiązałby równanie różniczkowe. No i napisałem równanie, tylko że bez sensu. Znając odpowiedź, łatwo napisać poprawne równanie, ale jak napisać równanie znając tylko treść zadania?

Mariusz: Równanie stycznej y−y₀=f'(x₀)(x−x₀) y−f(t)=f'(t)(x−t) Punkty przecięcia osi układu współrzędnych −f(t)=f'(t)(x−t) y−f(t)=−f'(t)t f'(t)(x−t)+f(t) y=f(t)−f'(t)t (f(t)−f'(t)t)+f'(t)(x−t)+f(t)=2a f(t)−f'(t)t+f'(t)x−f'(t)t+f(t)=2a (x−2t)f'(t)+2f(t)=2a I teraz gdyby wyrugować x to mielibyśmy równanie różniczkowe

Mariusz: To już wiem skąd otrzymałeś to równanie Niestety ja też doszedłem tylko do tego równania −f(t)=f'(t)(x−t) y−f(t)=−f'(t)t y=f(t)−f'(t)t

	f(t)
x−t=−
	f'(t)

y=f(t)−f'(t)t

	f(t)
x=t−
	f'(t)

	f(t)
t−		+f(t)−f'(t)t=2a
	f'(t)

	f(t)
f'(t)t−		+(t−f(t)−2a)=0
	f'(t)

t(f'(t))²+(t−f(t)−2a)f'(t)−f(t)=0

Mariusz: x (y')² + (2−x−y) y' + y = 0 y=u−x x(u'−1)²+(2−x−(u−x))(u'−1)+u−x=0 x((u')²−2u'+1)+(2−u)(u'−1)+u−x=0 x(u')²−2xu'+x+(2−u)u'−2+u+u−x=0 x(u')²+(2−u−2x)u'+2u−2=0 x(u')²+(2−u)u'−2xu'+2u−2=0 x(u')²+2u'−uu'−2xu'+2u−2=0 x((u')²−2u')+2u'−2−(u'−2)u=0 x((u')²−2u')+2u'−2=(u'−2)u

	u'(u'−2)		2u'−2
u=		x+
	u'−2		u'−2

	2u'−2
u=u'x+
	u'−2

a zatem można te równanie sprowadzić także do równania Clairaut

	2u''(u'−2)−(2u'−2)u''
u'=u''x+u'+
	(u'−2)2

	(2u'−4)−(2u'−2)
0=u''x+u''
	(u'−2)2

	2
0=u''x−u''
	(u'−2)2

	2
0=u''(x−		)
	(u'−2)2

u'=p

	2
0=p'(x−		)
	(p−2)2

p'=0 x−U{2}{(p−2)²=0 p=C x=U{2}{(p−2)² Dla p=C otrzymujemy rozwiązanie

	2C−2
u=Cx+
	C−2

	2C−2
y=(C+1)x+
	C−2

	2
x=
	(p−2)2

	2p		2p−2
u=		+
	(p−2)2		p−2

	2
x=
	(p−2)2

	2p		2p−2
u=		+
	(p−2)2		p−2

	2
x=
	(p−2)2

	2p−2		2p−2
y=		+
	(p−2)2		p−2

	(2p−2)		(2p−2)(p−2)
y=		+
	(p−2)2		(p−2)2

	(p−1)(2+2p−4)
y=
	(p−2)2

	(p−1)(2p−2)
y=
	(p−2)2

	2
y=(p−1)2
	(p−2)2

	2
x=
	(p−2)2

(p−2)²x=2

	2
(p−2)2=
	x

	√2
p−2=
	√x

	√2
p−1=1+
	√x

	√2
y=(1+		)2x
	√x

Mamy zatem rozwiązanie ogólne

	2C−2
y=(C+1)x+
	C−2

i rozwiązanie szczególne

	√2
y=(1+		)2x
	√x

	2		2√2
y=(1+		+		)x
	x		√x

y=2+(2√2)√x+x