Równanie różniczkowe wyższego rzędu Ola: Czy mogłabym prosić o jakąś wskazówkę do tego równania różniczkowego? Z góry bardzo dziękuję. (y'+2y)y''=(y')²

Mariusz: y'=u(y) y''=u'(y)y' y''=u'(y)u(y) (u+2y)uu'=u² (u+2y)u'=u Masz równanie jednorodne

	u
u'=
	u+2y

du		u
	=
dy		u+2y

u=vy u'=v'y+v

	vy
v'y+v=
	vy+2y

	v
v'y=
	v+2

dv		v	1
	=
dy		(v+2)	y

v+2		1
	dv=		dy
v		y

	2		dy
(1+		)dv=
	v		y

(v+2ln|v|)=ln|y|+C C−v=2ln|v|−ln|y|

	v2
C−v=ln|		|
	y

	u		v2y2
C−		=ln|		|
	y		y3

	u		u2
C−		=ln|		|
	y		y3

u		u2
	+ln|		|=C
y		y3

Przydałoby się z tej postaci uzyskać postać jawną aby rozwiązać równanie y'=u(y)

Mariusz: Pomyliłem się w rachunkach (ty też sprawdzaj swoje)

	vy−v(vy+2y)
v'y=
	vy+2y

	vy−v2y−2vy
v'y=
	vy+2y

	vy+v2y
v'y=−
	vy+2y

	v+v2
v'y=−
	v+2

dv		v(v+1)	1
	=−
dy		v+2	y

v+2		dy
	dv=−
v(v+1)		y

(2v+2)−v		dy
	dv=−
v(v+1)		y

	2		1		dy
(		−		)dv=−
	v		v+1		y

2ln|v|−ln|v+1|=−ln|y|+ln|C₁|

v2		C1
	=
v+1		y

v2y
	=C1
v+1

v2y2
	=C1
vy+y

u2
	=C1
u+y

u²=C₁(u+y) u²−C₁u−C₁y=0

	C1±√C12+4C1y
u=
	2

	C1±√C12+4C1y
y'=
	2

2y'=C₁±√C₁²+4C₁y

2
	dy=dx
C1±√C12+4C1y

Tutaj aby policzyć tę całkę wystarczy podstawić za pierwiastek