Znaleźć wzór jawny ciągu Olek: Znaleźć wzór jawny ciągu a_n+2 + 2a_n+1 − 3_an = 1 a₀ = 0 a₁ = 1 Wyznaczyłem ciąg b_n który jest ciągiem jednorodnym stowarzyszonym z a_n oraz wielomian c_n, który jest stopnia o jeden większy od wielomianu z zadania spełniającego założenia rekurencyjne ciągu a_n = b_n + c_n 1)b_n+2 + 2b_n+1 − 3b_n = 0 t² +2t − 3 = 0 liczę deltę i wyznaczam pierwiastki t₁ = −3, t₂ = 1 b_n = −3α + β 2) c_n = α₁ *n +α₀ c_n+2 + 2c_n+1 − 3c_n = 1 Podstawiam tu c_n α₁(n+2) + α₀ + 2[α₁*(n+1) + α₀] − 3[α₁*n +α₀] = 1 Po zredukowaniu wszystkiego dostaję

	1
α1 =
	4

I nie wiem co dalej

ABC: jakoś dziwnie na twojej uczelni uczą , nie wypisujesz układu fundamentalnego, CORJ, CSRN?

Olek: O niczym takim jeszcze nie słyszałem

ABC: zresztą Mariusz zabrania rozwiązywać inaczej niż funkcjami tworzącymi więc ci nie rozpiszę

Olek: ok na coś wpadłem

Mariusz: Ja tam uważam że funkcje tworzące są wygodniejsze w użyciu bo 1) nie trzeba zgadywać rozwiązania szczególnego 2) postać rozwiązania równania jednorodnego wynika z szeregu geometrycznego i jego pochodnych 3) pozwalają na rozwiązywanie nie tylko równań liniowych (np równanie na liczby Catalana) Co do metod analogicznych do tych używanych do rozwiązywania równań różniczkowych to Część jednorodną można przekształcić w układ równań i rozwiązać go potęgując macierz (Tutaj przydałby się sposób dokonania jakiegoś rozkładu np rozkładu Jordana macierzy bo sama diagonalizacja nie zawsze wystarcza) Do znalezienia rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego można użyć uzmienniania stałych tyle że zamiast wrońskianu mamy casoratian a zamiast całkować sumujemy Pytanie czy miał narzucony sposób rozwiązywania czy może rozwiązać dowolną metodą ABC tutaj określenie całka chyba nie bardzo pasuje chyba raczej suma

Olek: Nie miałem narzuconego sposobu rozwiązania, jednak wzorowałem się na tych z ćwiczeń na szczęście udało mi się już sobie poradzić, znalazłem parę błędów w swoich obliczeniach i udało się dokończyć rozwiązywanie. Dziękuję wszystkim za pomoc

Mariusz: a_n+2 + 2a_n+1 − 3a_n = 1 a_n+1=b_n a_n+2=−2a_n+1+3a_n a_n+1=b_n b_n+1=3a_n−2b_n Potęgujesz macierz 0 1 3 −2 (0−λ)(−2−λ)−1*3 λ(λ+2)−3=0 λ²+2λ−3=0 (λ+3)(λ−1) Dla λ=−3 3v₁+v₂=0 3v₁+v₂=0 v₂=−3v₁ Dla λ=−3 mamy wektor własny [1 −3]^T Dla λ=1 −v₁ +v₂=0 3v₁−3v₂=0 v₁=v₂ Dla λ=1 mamy wektor własny [1 1]^T Macierz P to 1 1 −3 1 Macierz D to −3 0 0 1 A=PDP⁻¹ Aⁿ=PDⁿP⁻¹ Jeśli chodzi o uzmiennianie stałych to tutaj masz o tym sposobie http://www-users.mat.uni.torun.pl/~much/RR/REKUR_2_liniowe_13xi2006.pdf a na mat.uni.torun swojego czasu chodziłem tyle że nie na matematykę a zaoczną informatykę

Iryt: (*) a_{(n+2 )}+ 2a_{(n+1 )}− 3a_n = 1⇔a_{(n+2 )}=− 2a_{(n+1 )}+3a_n + 1 a₀ = 0, a₁ = 1 1) równanie charakterystyczne: x²+2x−3=0 x₁=1, x₂=−3 2) Postać rozwiązania : a_n⁽¹⁾=A+B*(−3)ⁿ a_n⁽²⁾:

	n*1		n
−2+3=1 zatem przewidywana postać an(2)=		=
	1*(−2)+2*3		4

a_n=a_n⁽¹⁾+a_n⁽²⁾ 3) Wyznaczymy wartości A i B korzystając z warunków początkowych

	n
an=A+B*(−3)n+
	4

a₀=0=A+B

	1
a1=1=A+B*(−3)+
	4

	3		3
A=		, B=−
	16		16

	3		3		1
an=		−		*(−3)n+		n
	16		16		4

	1		3		1
an=		n+		+		*(−3)n+1
	4		16		16

=======================

Olek: Mariusz to właśnie ja chodzę tam teraz na informatykę, ale normalnie

Mariusz: Poczytaj o tej metodzie którą przedstawiłem Jest ona analogiczna do tej używanej podczas rozwiązywania równań różniczkowych a nie wymaga zgadywania Do rozwiązania równania jednorodnego będziesz potrzebował jakiegoś rozkładu macierzy (np rozkład Jordana bo diagonalizacja nie zawsze działa) Jeśli chodzi o uzmiennianie stałych to przydaje się wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego oraz sumowanie przez części A jeśli chodzi o funkcje tworzące to a_n+2 + 2a_n+1 − 3a_n = 1 a₀ = 0 a₁ = 1 A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=0^∞a_n+2xⁿ⁺²+∑_n=0^∞2a_n+1xⁿ⁺²+∑_n=0^∞(−3a_n)xⁿ⁺² =∑_n=0^∞xⁿ⁺² (∑_n=0^∞a_n+2xⁿ⁺²)+2x(∑_n=0^∞a_n+1xⁿ⁺¹)−3x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)=

x2
1−x

∑_n=0^∞a_nxⁿ−0−x+2x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−0)−3x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ)=

x2
1−x

	x2
(∑n=0∞anxn)(1+2x−3x2)=x+
	1−x

	x−x2+x2
A(x)(1+3x)(1−x)=
	(1−x)

	x
A(x)=
	(1+3x)(1−x)2

x		A		B		C
	=		+		+
(1+3x)(1−x)2		1+3x		1−x		(1−x)2

A(1−x)²+B(1−x)(1+3x)+C(1+3x)=x A(1−2x+x²)+B(1+2x−3x²)+C(1+3x)=x Teraz rozwiązujesz układ równań np obliczając macierz odwrotną na wypadek gdybyś pomylił się w liczniku

Mariusz: Ja kiedyś znalazłem taki kod do odwracania macierzy http://codepad.org/GZWexB6t Tutaj tablica indeksowana jest od jedynki ale gdyby przesunąć indeksy do zera to użycie modyfikatora unsigned może popsuć warunki dla instrukcji iteracyjnych (oryginalny kod był w Pascalu a ja przełożyłem go na C)