Udowodnij, że jest student, który wpadł na co najmniej pięć problemów. Kamil: Dziesięciu uczniów skomponowało 35 problemów dla PUMaC. Niektórzy z nich mieli 1, 2 i 3 problemy. Udowodnij, że jest student, który wpadł na co najmniej pięć problemów.

annabb: bo jak wszystkich 9 miało po 3 czyli 27 to ostatniemu zostało jeszcze 8

Kamil: Ale niektóry mieli jeszcze po 1 lub 2

ABC: nie wprost , załóżmy, że wszyscy mieli najwyżej 4 problemy , wtedy tych co mieli dokładnie 4 mogło być co najwyżej siedmiu ( bo przynajmniej po jednej osobie miało też 1,2,3) Ale 7*4+1+2+3=34 <35 sprzeczność

annabb: to jak mieli mniej niż 3 to tym bardziej ostatniemu zostało dużo

PW: Jest trzech, którzy wpadli odpowiednio na dokładnie 1, 2, 3 problemy, czyli tych na trzech przypadło dokładnie 6 problemów. Pozostałych siedmiu rozwiązało więc łącznie 35 − 6 = 29 problemów. 29 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5, gdyby któryś z pierwszych 6 składników był mniejszy niż 4, to ostatni musi być równy 6 lub 7 lub 8 lub będzie więcej niź 1 składników większych niż 4.