Nierówność AHQ: Udowodnij, że jeżeli liczby a,b,c są dodatnie to

a2		b2		c2		a		b		c
	+		+		≥		+		+
b2		c2		a2		b		c		a

Próbowałem tak: Z nierówności między średnią arytmetyczną, a geometryczną mamy:

	a2   b2   + b2   c2		a2		b2		a
2 *		≥ 2* √		+		= 2
	2		b2		c2		c

Postępujemy analogicznie w pozostałych dwóch przypadkach, potem dodajemy nierówności stronami i dzielimy obustronnie przez 2. Dostajemy:

a2		b2		c2		a		b		c
	+		+		≥		+		+
b2		c2		a2		c		a		b

I tutaj się zatrzymałem. Można z tego wyciągnąć jakiś przydatny wniosek ?

wmboczek: razy 2 i zgrupować wzorami skróconego?

jc:

1		a2		b		a
	[2*		+		]≥
3		b2		a		b

jc:

a2		b2		c2
	+		+
b2		c2		a2

2

a2

b2

c2

1

b

c

a

≥

(

+

+

) +

(

+

+

)

3

b2

c2

a2

3

a

b

c

	a		b		c
≥		+		+
	b		c		a

jc: Po prostu dokończyłem Twój początek. To pierwsze to oczywiście też nierówność pomiędzy średnimi.

x2 + x2 + 1/x
	≥ 3√x2*x2*(1/x)=x
3

AHQ: Dzięki Wam.