dowód Fran123:
 1 
a) Wyznacz a,b takie że |ax+b−x| ≤

dla 1 ≤ x ≤ 4.
 24 
 1 
b)Wykaż że stałą

nie może być zastąpiona mniejszą liczbą.
 24 
17 maj 12:17
PW: 1 ≤ x ≤ 4 1 ≤ x ≤ 2 (1) − 2 ≤ − x ≤ −1 Dla a > 0 (2) a ≤ ax ≤ 4a A (1) i (2) a + b − 2 ≤ ax + b − x ≤ 4a + b − 1 Narzucony warunek oznacza, że musi być jednocześnie
 1 1 
a + b − 2 ≥ −

i 4a + b − 1 ≤

 24 24 
 47 25 
− (a + b) ≤

i 4a + b ≤

 24 24 
Po dodaniu stronami 3a ≤ 3 a ≤ 1 No i brakuje w treści zadania założeń dla liczb a i b, albo nie mam dalej pomysłu.
17 maj 14:25
Fran123: a, b rzczywiste
17 maj 14:27
fil:
 1 
Mozna wyjsc od czegos takiego: (ax + b − x)2 <=

 24 
17 maj 14:31
Fran123: No fil mozna ale co z tym?
17 maj 15:13
PW: Na razie widzę u siebie pomyłkę w piątym wierszu od dołu − powinno być
 47 
− (a + b) ≤

.
 24 
Wtedy dodanie stronami daje
 22 
3a ≤ −

,
 24 
a to daje sprzeczność z założeniem, że a > 0. Może to trzeba pociągnąć.
17 maj 15:42
Minato: albo podstawić x = t dla t∊[1, 2] i zbadać zbiór wartości funkcji f(t) = |at2−t+b| ja bym poszedł w tę stronę
17 maj 15:51
Fran123: A jak dalej z tym?
17 maj 17:25
ABC: a gdyby przeskalować aproksymację jednostajną pierwiastka na przedziale [0,1] ? https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sqrt_uniform_approximation.svg
17 maj 17:39
Fran123: To zadanie z poziomu liceum....
17 maj 17:43
ABC: dzisiejszego liceum? to naprawdę wyzwanie, ja w swoim liceum miałem szereg Taylora
17 maj 17:49
ABC: chyba że pójdzie z pierwszej pochodnej samej , może i tak
17 maj 17:51
Iks: Nie ma w liceum szeregu Taylor
17 maj 18:43
ABC: rozwaliłem to z pierwszej pochodnej , ale musiałem skorzystać z twierdzenia Kołmogorowa , żeby
 1 
wypisać układ 4 równań z 4 niewiadomymi, faktycznie wychodzi

, ale jak to zrobić
 24 
prościej?
17 maj 18:55
ABC:
 1 17 
szukana prosta to y=

x+

, jeśli ktoś spróbuje prościej żeby znał wynik
 3 24 
17 maj 18:57
Iks: A jakie to twierdzenie kolmogirowa
17 maj 19:00
PW: O 15:42 doszliśmy do wniosku, że nie może być a > 0. Wobec tego − dla a < 0 − nierówność (2) ma postać a ≥ ax ≥ 4a (2') − a ≤ − ax ≤ − 4a, co po dodaniu stronami z nierównością (3) 1 ≤ x ≤ 2 daje − a + 1 ≤ − ax + x ≤ − 4a + 2. − a − b + 1 ≤ − ax − b + x ≤ − 4a − b + 2. Narzucony w treści zadania warunek oznacza, że
 1 1 

≤ − a − b + 1 i − 4a − b + 2 ≤

 24 24 
 1 1 
a + b − 1 ≤

i − 4a − b + 2 ≤

 24 24 
 25 47 
a + b ≤

i − 4a − b ≤ −

 24 24 
Po dodaniu stronami
 22 
− 3a ≤ −

 24 
 22 
3 a ≥

 24 
Znów otrzymaliśmy sprzeczność − zakładaliśmy a < 0 . Wniosek − należy sprawdzić dla a = 0. Badana nierówność ma postać
 1 
|b − x| ≤

 24 
 1 1 

≤ b − x

,
 24 24 
po dodaniu stronami nierówności (3) otrzymamy
 1 1 
1 −

≤ b ≤ 2 +

 24 24 
Wygląda na to, że
 1 1 
a = 0 i b − pewna liczba z przedziału <1 −

, 2 +

>
 24 24 
Skoro to zadanie na poziomie liceum, to zadający pytanie licealista na pewno sobie poradzi z dokończeniem.
17 maj 19:02
ABC: jak ci napiszę to twierdzenie w języku analizy funkcjonalnej to i tak nic nie zrozumiesz, ono mówi coś takiego niech f(x)=x g(x)=ax+b żeby znaleźć a, b trzeba rozwiązać układ 4 równań : f(1)−g(1)=−δ f(4)−g(4)=−δ f(c)−g(c)=δ f'(c)−g')c)=0 gdzie c∊(1,4) pewien punkt a δ−maksymalny błąd wychodzi z tego a=1/3 b=17/24 c=9/4 δ=1/24
17 maj 19:11
ABC: rysunektak to wygląda
17 maj 19:16
PW: Bez bicia sie przyznaję − musiałem gdzieś się pomylić. Trzeba było zacząć od rysunku ax+b i x.
17 maj 19:28
PW: O, zanim pomyślałem, to rysunek się pojawiłemotka
17 maj 19:29
ABC: dziś proza życia zmusza mnie do oderwania się od tego i rozpoczęcia sprawdzania testów w nauczaniu zdalnym , ale może ktoś to elementarnie uzasadni emotka
17 maj 19:36
PW: Już wiem na czym polegał mój błąd logiczny, w ten sposób nie da się tego pokazać. Uczniowskie podejście może być takie: 1. Rysujemy na początek prostą przechodzącą przez punkty (1, 1) i (4, 2). Jest to najprostsza "przymiarka" − a nuż taka prosta spełni warunki zadania? Prosta ma równanie
 1 2 
(1) y =

x +

.
 3 3 
2. Sprawdzamy jakie jest maksimum różnicy
 1 2 
(2) f(x) = x − (

x +

)
 3 3 
 9 
na zadanym przedziale. Okazuje się, że maksimum jest osiągnięte w punkcie x0 =

i jest
 4 
 2 
ono równe

(badamy różnicę za pomocą pochodnej)..
 24 
 1 
3. Wystarczy więc wykres funkcji (1) przesunąć w górę o

− na obydwu krańcach
 24 
 1 1 
przedziału <1, 4> różnica (2) wyniesie −

, a w punkcie x1 będzie równa

, zaś
 24 24 
w pozostałych punktach przedziału będzie mniejsza. Tu wypadałoby zrobić drugi rysunek pokazujący funkcję liniową po przesunięciu. Jest ona określona wzorem
 1 2 
y =

x +

+ U{1}{24
 3 3 
 1 17 
y =

x +

.
 3 24 
Zgadza się, profesorze ABC. Trzeba jednak powiedzieć, że jak na liceum, to dość nietypowe zadanie, z serii − A jak ja niby miałbym na to wpaść? Druga część zadania też nie jest oczywista. Wymaga pomyślenia:
 1 
− A co by było, gdyby wziąć prostą nachyloną pod innym kątem α, takim że a2 = tgα ≠

?
 3 
i pokazania, że wtedy znajdzie się punkt x2 w przedziale <1, 4>, dla którego
 1 
|a2x2 + b − x2| >

 24 
(przy każdym b).
18 maj 11:17