liczby gocha:

	a2+b2
Niech a,b nieujemne. Wykaż że a+b ≥ (		)1/2+ √ab
	2

PW: To może być uznane za rozwiązanie bez polotu, polega na pozbyciu się jednej zmiennej i przekształceniach równoważnych, ale jest skuteczne. Dla a = 0 lub b = 0 nierówność jest oczywista. Niech b = ax², x ≥ 1 (przyjmujemy b ≥ a, nie zmienia to ogólności, gdyż a i b można zamieniać między sobą w badanej nierówności).

	a2 + a2x4
a + ax2 ≥ (		)1/2 + √a2x2
	2

	1 + x4
a(1+x2) ≥ a(		)1/2 + ax
	2

	1 + x4
1+x2 ≥ (		)1/2 + x
	2

	1 + x4
x2 − x + 1 ≥ (		)1/2 (obie strony dodatnie)
	2

	1 + x4
(x2 − x + 1)2 ≥
	2

	1 + x4
x4 − 2(x − 1) + (x−1)2 ≥
	2

x⁴ − 4(x − 1) + 2(x−1)² ≥ 1 x⁴ − 4x + 4 + 2x² − 4x + 2 ≥ 1 (*) x⁴ + 2x² + 5 ≥ 8x, x ≥ 1. Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla trzech składników wynika, że x⁴ + 2x² + 5 ≥ 3³√10x⁴x² = 3³√10x² > 9x² > 8x Ostatnia nierówność jest oczywista dla x ≥ 1. To kończy dowód nierówności (*), równoważnej badanej nierówności..

gocha: Dzięki ma jeszcze jedną podobną

ABC: na maturze nawet rozszerzonej , raczej takich nie będzie

gocha:

	a2+b2
√		≥ √ab , a2 + b2 ≥ 2ab , (a−b)2 ≥ 0
	2

	a2+b2
a+b≥ √		, 2(a+b)2 ≥ a2 + b2 , a2+4ab+b2 ≥ 0
	2