Nierówności AHQ: 1. Liczby dodatnie a,b,c są długościami boków pewnego trójkąta. Udowodnij, że
3 a b c 


+

+

≤ 2
2 b+c c+a b+c 
Potrafię wykazać pierwszą nierówność dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej, nie wiem za to co zrobić z drugą częścią, zapewne należy użyć:
a+b>c  
b+c>a,
c+a>b 
16 maj 09:22
jc: Myślę, że błąd w 3 ułamku. a,b,c >0
 1 1 1 
9≤[(b+c)+(c+a)+(a+b)]*[

+

+

] , równość dla a=b=c
 b+c c+a a+b 
 a b c 
9 ≤ 2[

+

+

+3]
 b+c c+a a+b 
3 a b c 


+

+

2 b+c c+a a+b 
Nie korzystaliśmy z nierówności trójkąta. Wydaje mi się, że po prawej nigdy równość nie jest osiągana.
16 maj 10:07
AHQ:
 c 
Tak, jasne tam powinno być

 a+b 
Dokładnie tak samo zrobiłem tą część. Nie potrafię tylko wykazać
a b c 

+

+

< 2 , a tu już raczej nierówności w trójkącie by się
b+c c+a a+b 
przydały Oczywiście nie ma równości nigdy, znowu nie dopatrzyłem.
16 maj 10:30
gocha:
a a a 

=

<

b+c 
b+c b+c 

+

2 2 
 (a+b+c)/2 
16 maj 10:45
gocha: a<b+c, b<c+a, c<a+b
a b c 2a 2b 2c 

+

+

<

+

+

= 2
b+c c+a a+b a+b+c a+b+c a+b+c 
16 maj 10:49
AHQ: Oooo dzięki emotka
16 maj 11:12