pierwiastki wielomianu MalWas: Oblicz liczbę pierwiastków rzeczywistych wielomianów a) x⁴+x³+x+1 b) x⁴−4x+2 i oszacuj te pierwiastki z dokładnością do 0,5.

PW: a) x³(x+1) + (x+1) = (x+1)(x³+1) = (x+1)(x+1)(x²−x+1) i po robocie.

Minato: b) w(x)=x⁴−4x+4 w'(x)=4x³−4 >0 ⇔ x > 1, zatem w rośnie dla x >1 oraz malej dla x<1 w(1)= −1 Z własności Daroboux i monotoniczności wynika, że mamy 2 miejsca zerowe. Jeden w przedziale (−∞, 1), a drugi (1, +∞)

Minato: co więcej, możemy stwierdzić, że w(0) = 2 > 0 oraz w(1)=−1 <0, zatem pierwiastek jest w przedziale (0, 2) w(1) =−1 <0 oraz w(2)=10 > 0, zatem pierwiastek jest w przedziale (1, 2) Przybliżeń szukaj np. za pomocą metody połowienia

PW: b) Dla x ≤ 0 x⁴ − 4x + 2 > 0 w sposób oczywisty. Nie ma pierwiastków niedodatnich. Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną x⁴ + 2 ≥ 2√x⁴•2 = 2√2x² Z kolei nierówność dla dodatnich x 2√2x² > 4x

	√2
		x2 > x
	2

x > √2 jest prawdziwa dla wszystkich x > √2. Prawdziwa jest więc nierówność x⁴ + 2 > 4x czyli x⁴ − 4x + 2 > 0 − nie ma pierwiastków większych od √2. Jeżeli więc pierwiastki istnieją, to należą do przedziału (0, √2). w(1) = −1, w(√2) = 6 − 4√2 > 0, a więc jeden z pierwiastków x₁ znajduje się między 1 a √2 1 < x₁ < √2. Przyjęcie przybliżenia

	1+√2
x1 =
	2

jest dostarecznie dokładne, błąd nie przekracza połowy długości przedziału, która jest mniejsza

	1,42−1
od		= 0,21.
	2

A drugiego pierwiastka poszukaj sam.

Mariusz: x⁴−4x+2 Tutaj współczynnik przy x³ jest równy zero więc wygodnie będzie do rozłożyć używając współczynników nieoznaczonych (x²−px+q)(x²+px+r)=x⁴−4x+2 x⁴+px³+rx²−px³−p²x²−prx+qx²+pqx+qr=x⁴−4x+2 x⁴+(q+r−p²)x²+(pq−pr)x+qr=x⁴−4x+2 x⁴+(q+r−p²)x²+p(q−r)x+qr=x⁴−4x+2 q+r−p²=0 p(q−r)=−4 qr=2 q+r=p²

	4
q−r=−
	p

4qr=8

	4
2q=p2−
	p

	4
2r=p2+
	p

4qr=8

	4		4
(p2−		)(p2+		)=8
	p		p

	4		4
p2(p2−		)(p2+		)=8p2
	p		p

	16
p2(p4−		)=8p2
	p2

p⁶−8p²−16=0 z=p² z³−8z−16=0 z=u+v z³=(u+v)³ z³=u³+3u²v+3uv²+v³ z³=u³+v³+3uv(u+v) u³+v³+3uv(u+v)−8(u+v)−16=0 u³+v³−16+(u+v)(3uv−8)=0 u³+v³−16=0 (u+v)(3uv−8)=0 u³+v³−16=0 3uv−8=0 u³+v³=16

	8
uv=
	3

u³+v³=16

	512
u3v3=
	27

	512
t2−16t+		=0
	27

	1728−512
(t−8)2−		=0
	27

	1216
(t−8)2−		=0
	27

	3648
(t−8)2−		=0
	81

	72−√3648		72+√3648
(t−		)(t−		)=0
	9		9

	216−3√3648		216+3√3648
(t−		)(t−		)=0
	27		9

	1
u3=		(216−3√3648)
	27

	1
v3=		(216+3√3648)
	27

	1
z=		(3√216−3√3648+3√216+3√3648)
	3

	1
z=		(33√216−3√3648+33√216+3√3648)
	9

	√3
p=		√3√216−3√3648+3√216+3√3648
	3

	1		4
q=		(p2−		)
	2		p

	1		4
r=		(p2+		)
	2		p

(x²−px+q)(x²+px+r)=x⁴−4x+2