pierwiastki wielomianu MalWas: Oblicz liczbę pierwiastków rzeczywistych wielomianów a) x4+x3+x+1 b) x4−4x+2 i oszacuj te pierwiastki z dokładnością do 0,5.
15 maj 16:46
PW: a) x3(x+1) + (x+1) = (x+1)(x3+1) = (x+1)(x+1)(x2−x+1) i po robocie.
15 maj 20:10
Minato: b) w(x)=x4−4x+4 w'(x)=4x3−4 >0 ⇔ x > 1, zatem w rośnie dla x >1 oraz malej dla x<1 w(1)= −1 Z własności Daroboux i monotoniczności wynika, że mamy 2 miejsca zerowe. Jeden w przedziale (−, 1), a drugi (1, +)
15 maj 20:29
Minato: co więcej, możemy stwierdzić, że w(0) = 2 > 0 oraz w(1)=−1 <0, zatem pierwiastek jest w przedziale (0, 2) w(1) =−1 <0 oraz w(2)=10 > 0, zatem pierwiastek jest w przedziale (1, 2) Przybliżeń szukaj np. za pomocą metody połowienia
15 maj 20:32
PW: b) Dla x ≤ 0 x4 − 4x + 2 > 0 w sposób oczywisty. Nie ma pierwiastków niedodatnich. Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną x4 + 2 ≥ 2x4•2 = 22x2 Z kolei nierówność dla dodatnich x 22x2 > 4x
 2 

x2 > x
 2 
x > 2 jest prawdziwa dla wszystkich x > 2. Prawdziwa jest więc nierówność x4 + 2 > 4x czyli x4 − 4x + 2 > 0 − nie ma pierwiastków większych od 2. Jeżeli więc pierwiastki istnieją, to należą do przedziału (0, 2). w(1) = −1, w(2) = 6 − 42 > 0, a więc jeden z pierwiastków x1 znajduje się między 1 a 2 1 < x1 < 2. Przyjęcie przybliżenia
 1+2 
x1 =

 2 
jest dostarecznie dokładne, błąd nie przekracza połowy długości przedziału, która jest mniejsza
 1,42−1 
od

= 0,21.
 2 
A drugiego pierwiastka poszukaj sam.
15 maj 21:44
Mariusz: x4−4x+2 Tutaj współczynnik przy x3 jest równy zero więc wygodnie będzie do rozłożyć używając współczynników nieoznaczonych (x2−px+q)(x2+px+r)=x4−4x+2 x4+px3+rx2−px3−p2x2−prx+qx2+pqx+qr=x4−4x+2 x4+(q+r−p2)x2+(pq−pr)x+qr=x4−4x+2 x4+(q+r−p2)x2+p(q−r)x+qr=x4−4x+2 q+r−p2=0 p(q−r)=−4 qr=2 q+r=p2
 4 
q−r=−

 p 
4qr=8
 4 
2q=p2

 p 
 4 
2r=p2+

 p 
4qr=8
 4 4 
(p2

)(p2+

)=8
 p p 
 4 4 
p2(p2

)(p2+

)=8p2
 p p 
 16 
p2(p4

)=8p2
 p2 
p6−8p2−16=0 z=p2 z3−8z−16=0 z=u+v z3=(u+v)3 z3=u3+3u2v+3uv2+v3 z3=u3+v3+3uv(u+v) u3+v3+3uv(u+v)−8(u+v)−16=0 u3+v3−16+(u+v)(3uv−8)=0 u3+v3−16=0 (u+v)(3uv−8)=0 u3+v3−16=0 3uv−8=0 u3+v3=16
 8 
uv=

 3 
u3+v3=16
 512 
u3v3=

 27 
 512 
t2−16t+

=0
 27 
 1728−512 
(t−8)2

=0
 27 
 1216 
(t−8)2

=0
 27 
 3648 
(t−8)2

=0
 81 
 72−3648 72+3648 
(t−

)(t−

)=0
 9 9 
 216−33648 216+33648 
(t−

)(t−

)=0
 27 9 
 1 
u3=

(216−33648)
 27 
 1 
v3=

(216+33648)
 27 
 1 
z=

(3216−33648+3216+33648)
 3 
 1 
z=

(33216−33648+33216+33648)
 9 
 3 
p=

3216−33648+3216+33648
 3 
 1 4 
q=

(p2

)
 2 p 
 1 4 
r=

(p2+

)
 2 p 
(x2−px+q)(x2+px+r)=x4−4x+2
16 maj 06:01