Funkcja tworząca i równania rekurencyjne creazy: Wykorzystując funkcje tworzące wyznacz rozwiązanie równań rekurencyjnych x_n+2 + 8_n+1 − 9x_n = 8*3ⁿ⁺¹ n≥0, x₀ = 2, x₁ = −6 Czy ktoś ma pomysł jak przekształcić to w funkcje tworzącą? Mianowicie od czego zacząć?

Mariusz: X(t)=∑_n=0^∞x_ntⁿ (∑_n=0^∞x_n+2tⁿ⁺²)+(∑_n=0^∞8x_n+1tⁿ⁺²)+(∑_n=0^∞−9x_ntⁿ⁺²)= ∑_n=0^∞8*3ⁿ⁺¹tⁿ⁺² (∑_n=0^∞x_n+2tⁿ⁺²)+8t(∑_n=0^∞x_n+1tⁿ⁺¹)−9t²((∑_n=0^∞x_ntⁿ))= 24t²(∑_n=0^∞3ⁿtⁿ) ∑_n=0^∞xⁿtⁿ−2+6t+8t(∑_n=0^∞x_ntⁿ−2)−9t²(∑_n=0^∞x_ntⁿ)=

24t2
1−3t

(∑_n=0^∞xⁿtⁿ)+8t(∑_n=0^∞xⁿtⁿ)−9t²(∑_n=0^∞x_ntⁿ)−2+6t−16t

	24t2
=
	1−3t

	24t2
(∑n=0∞xntn)(1+8t−9t2)=2+10t+
	1−3t

	(2+10t)(1−3t)+24t2
(∑n=0∞xntn)(1+8t−9t2)=
	1−3t

	2+4t−6t2
(∑n=0∞xntn)=
	(1−t)(1+9t)(1−3t)

A		B		C
	+		+
1−t		1+9t		1−3t

A(1+9t)(1−3t)+B(1−t)(1−3t)+C(1−t)(1+9t) A(1+6t−27t²)+B(1−4t+3t²)+C(1+8t−9t²) Macierz główna układu to −27 3 −9 6 −4 8 1 1 1 Macierz odwrotna do niej to −1/20 −1/20 −1/20 1/120 −3/40 27/40 1/24 1/8 3/8

	1		1		1
A=−		(−6)−		(4)−		(2)
	20		20		20

	1		3		27
B=		(−6)−		(4)+		(2)
	120		40		40

	1		1		3
C=		(−6)+		(4)+		(2)
	24		8		8

	6−4−2
A=		=0
	20

	−6−36+162
B=		=1
	120

	−6+12+18
C=		=1
	24

2+4t−6t2		1		1
	=		+
(1−t)(1+9t)(1−3t)		1+9t		1−3t

X(t)=(∑_n=0^∞(−9)ⁿtⁿ)+(∑_n=0^∞3ⁿtⁿ) X(t)=∑_n=0^∞[(−9)ⁿ+3ⁿ]tⁿ x_n=(−9)ⁿ+3ⁿ Wcześniej pomyliłem się przy wyznaczaniu licznika funkcji tworzącej ale dzięki temu że użyłem macierzy odwrotnej do rozwiązania układu nie musiałem go rozwiązywać po raz wtóry

creazy: Dziękuje bardzo Rozjaśniło temat