równania
bambol: Rozwiąż równanie w liczbach rzeczywistych:
√2x2−4x+23 + √5x2−10x+9 = 8 +2x −x2
podstawiłem zmienną: x2−2x
√2t+23 + √2t+9 = −t+8
I tutaj się kończą pomysły. Próbowałem różnie rozwiązać to równanie ale nie mam w ogóle
pomysłu.
Czy da się to równanie rozwiązać nie−analitycznie
Czy gdybym rozwiązał to równanie analitycznie i znalazł pierwiastek przybliżony, to mógłbym
uznać że rozwiązałem zadanie poprawnie? Ba, czy w ogóle to równanie można rozwiązać
analitycznie?
13 maj 20:48
ABC:
kolejny raz wkładasz to równanie, a nie chcesz powiedzieć w jakim celu je rozwiązujesz, 6 na
koniec roku dostaniesz z matmy jak zrobisz?
13 maj 21:08
Mila:
Ciekawe z jakiego to zbioru?
13 maj 21:34
Minato:
Ja jestem ciekaw na jakim poziomie to zadanie, bo na pewno nie w LO.
13 maj 21:47
ABC:
w jednej z książek Kurlandczyka dla olimpijczyków widziałem coś podobnego kiedyś ale nie
pamiętam w której
13 maj 21:49
PW: Nie umiem tak w pamięci rozwiązać, ale zacząłbym od przedstawienia wszystkich trójmianów w
postaci kanonicznej. Dziwnym trafem wszystkie trzy mają ekstrema w punkcie x0 = 1. Biorąc pod
uwagę, że lewa strona jest funkcją rosnącą dla x >1, a prawa − malejącą, widać, że istnieje na
tym przedziale jedno rozwiązanie mieszczące się w przedziale (1, 3).
Ponieważ to zadanie olimpijskie, nie będę udawał, że wiem co dalej, ale − jak powiadają w CKE −
osiągnięty został pewien postęp w rozwiązaniu.
14 maj 18:53
14 maj 18:59
PW: A widzisz, nie musiałem się prosic maszyny, żeby dojść do tego samego.
14 maj 19:03
14 maj 19:09
a7:
14 maj 19:10
14 maj 19:31
PW: Podstawiałbym (x−1)2 = u, bo w każdej postaci kanonicznej to (x−1)2 jest.
14 maj 19:36
a7: hmm, ok, zaraz sprawdzimy
14 maj 19:41
ABC:
ja już się bawiłem tym tym podstawieniem PW , jeśli czegoś nie zauważysz to i tak wpadasz w
wilcze doły równania czwartego stopnia
14 maj 19:44
Mariusz:
y
4−50y
3+697y
2−3252y+2800=0
y
4−50y
3=−697y
2+3252y−2800
y
4−50y
3+625y
2=−72y
2+3252y−2800
(y
2−25y)
2=−72y
2+3252y−2800
| | z | | z2 | |
(y2−25y+ |
| )2=(z−72)y2+(−25z+3252)+ |
| −2800 |
| | 2 | | 4 | |
Δ=0
(z
2−11200)(z−72)−(25z−3252)
2
z
3−72z
2−11200z+806400−(625z
2−162600z+10575504)
z
3−697z
2+151400z−9769104=0
No i teraz
3z
2−1394z+151400=0
| | 697 | | 697 | | 454200 | |
(z− |
| )2−( |
| )2+ |
| =0 |
| | 3 | | 3 | | 9 | |
| | 697 | | 485809−454200 | |
(z− |
| )2− |
| =0 |
| | 3 | | 9 | |
| | 697−√31609 | | 697+√31609 | |
(z− |
| )(z− |
| ) |
| | 3 | | 3 | |
Wyrażenie z
3−697z
2+151400z−9769104
| | 697−√31609 | |
rośnie i osiąga maximum > 0 w z= |
| |
| | 3 | |
| | 697+√31609 | |
a następnie maleje i osiąga minimum < 0 w z= |
| |
| | 3 | |
później znowu rośnie
Dodając do tego ciągłość wielomianu i twierdzenie Darboux
otrzymamy że wykres tego wielomianu przetnie oś odciętych trzy razy
więc aby rozwiązać równanie z
3−697z
2+151400z−9769104=0
trzeba będzie skorzystać z trygonometrii
Nawet jeśli użyjemy zespolonych to i tak ostatecznie otrzymamy
wynik wyrażony za pomocą funkcyj trygonometrycznych
15 maj 04:08
jc: Co masz pod drugim pierwiastkiem? 5x2 czy 2x2 ?
15 maj 08:53