Ciągłość Adamm: Niech f:X→Y będzie funkcją pomiędzy przestrzeniami metrycznymi X i Y, i niech Z będzie uzupełnieniem przestrzeni X. Powiemy, że f jest ciągła w punkcie x∊Z, jeśli dla dowolnego ciągu (xn)⊆X, xn→x, granica f(xn) istnieje. Powiemy, że f jest zupełnie ciągła, gdy f jest ciągłą na Z. Jeśli f jest zupełnie ciągła, zdefiniujmy g(z) = lim f(xn) dla ciągu xn→z elementów z X. Łatwo widać, że g jest dobrze określona. Nazwijmy g uzupełnieniem f. Czy g:Z→Y jest ciągła?
13 maj 17:19
Adamm: Weźmy ε>0, i dobierzmy δ>0 tak żeby d(t, z)<δ ⇒ d(f(t), f(z))<ε dla t, z∊X. Jeśli d(x, y)<δ dla pewnych x, y∊Z, to biorąc ciągi (xn), (yn)⊆X zbieżne do x i y odpowiednio, mamy, że d(x, y) := limn→ d(xn, yn) < δ. Zatem istnieje N, że d(xn, yn)<δ dla n>N. Stąd, d(f(xn), f(yn))<ε, i teraz z ciągłości metryki, przechodząc z n→ mamy, że d(g(x), g(y))<ε.
16 maj 22:38