Ciągłość Adamm: Niech f:X→Y będzie funkcją pomiędzy przestrzeniami metrycznymi X i Y, i niech Z będzie uzupełnieniem przestrzeni X. Powiemy, że f jest ciągła w punkcie x∊Z, jeśli dla dowolnego ciągu (x_n)⊆X, x_n→x, granica f(x_n) istnieje. Powiemy, że f jest zupełnie ciągła, gdy f jest ciągłą na Z. Jeśli f jest zupełnie ciągła, zdefiniujmy g(z) = lim f(x_n) dla ciągu x_n→z elementów z X. Łatwo widać, że g jest dobrze określona. Nazwijmy g uzupełnieniem f. Czy g:Z→Y jest ciągła?

Adamm: Weźmy ε>0, i dobierzmy δ>0 tak żeby d(t, z)<δ ⇒ d(f(t), f(z))<ε dla t, z∊X. Jeśli d(x, y)<δ dla pewnych x, y∊Z, to biorąc ciągi (x_n), (y_n)⊆X zbieżne do x i y odpowiednio, mamy, że d(x, y) := lim_n→∞ d(x_n, y_n) < δ. Zatem istnieje N, że d(x_n, y_n)<δ dla n>N. Stąd, d(f(x_n), f(y_n))<ε, i teraz z ciągłości metryki, przechodząc z n→∞ mamy, że d(g(x), g(y))<ε.