Kostrikin algebra: Post bardzo długi Nie mogę za bardzo pojąć pewnego rozwiązania problemu nagrzanej płytki z książki "Wstęp do algebry" Kostrikina. Treść: Przypuśćmy, że płaska prostokątna płytka z trzema otworami służy jako pokrywa w wyimaginowanym urządzeniu do otrzymywania niskich temperatur. Na płytce naniesiono siatkę kwadratową. Wierzchołki siatki leżące na czterech częściach brzegu nazywamy brzegowymi, a pozostałe − wewnętrznymi. Przypuśćmy, że w drodze bezpośrednich pomiarów ustalono, iż przy dowolnym nagrzewaniu lub ochładzaniu płytki temperatura w każdym punkcie wewnętrznym siatki jest średnią arytmetyczną temperatur w czterech sąsiednich punktach, niezależnie od tego, czy są to punkty brzegowe, czy też nie. Oczekuje się, że części urządzenia stykające się z różnymi kawałkami brzegu przekażą im temperaturę wskazaną na rysunku. Czy jest to możliwe, a jeśli tak, to czy rozkład temperatury w punktach wewnętrznych siatki jest wyznaczony jednoznacznie? Rysunek : https://zapodaj.net/9aa96f09e91d0.png.html W rozwiązaniu mam napisane, że punkty wewnętrzne numerujemy dowolnie − od 1 do 416, a punkty brzegowe (również dowolnie) od 417 do 620. Jeśli przez t_i oznaczyć temperaturę w wierzchołku o numerze i, to zgodnie z opisem rozkładu temperatury otrzymujemy 416 zależności postaci

	ta + tb + tc + td
te =		. Jeśli na przykład a, b, c ≤ 416 ∧ d > 416, to równość tę
	4

można przepisać w postaci równania liniowego −t_a − t_b − t_c + 4t_e = t_d, gdzie t_d = −273, −100, −50, 0, 50, 100, 300 Wszystkie te równania powinny dać układ 416 równań, gdzie współczynniki przy t_i są równe 0, −1, 4. Pytanie: Już tutaj czegoś nie rozumiem. Czy wybór d > 416 jest po to, by dostać układ równań, w którym po prawej stronie będzie wiadoma? Po to, byśmy nie musieli przekształcać równania, to jest znów podstawiać za t_d? Dalsza część rozwiązania: Zamiast powyższego układu równań, rozpatrzmy jego układ jednorodny, to jest taki, że po prawej stronie mamy same zera. Innymi słowy przyjmujemy, że temperatura wszystkich punktów brzegowych siatki jest równa zeru. Niech e będzie numerem punktu wewnętrznego o największej wartości |t_e|. Z warunku

	ta + tb + tc + td
te =		wynika, że |te| = |ta| = |tb| = |tc| = |td|.
	4

Poruszając się wzdłuż siatki od punktu e, przechodzimy przez punkty o tej samej wartości |t_i| = |t_e|, dopóki nie dotrzemy do brzegu o zerowej temperaturze. Wobec tego |t_e| = 0, a więc t_i = 0. Więc układ ma tylko jedno rozwiązanie zerowe, a stąd wynika, że układ pierwotny jest układem niesprzecznym i oznaczonym.

	ta + tb + tc + td
Pytanie: Dlaczego z warunku te =		wynika, że
	4

|t_e| = |t_a| = |t_b| = |t_c| = |t_d|? Kompletnie nie rozumiem tego wniosku. Tak samo dlaczego poruszając się wzdłuż siatki od punkty e, to przechodzimy przez punkty o tej samej wartości |t_i| = |t_e|?

Leszek: Ogrzewanie plyty z otworem jest izotropowe w taki sposob jak by bylo to powiekszenie optyczne , czyli wszystkie odleglosci midzy dowolnymi punktami ulegaja zwiekszeniu , czyli zwieksza sie obwod wyciecia otworu i jego srednica !

Adamm:

	|ta|+...+|td|
Założyliśmy, że |te| jest największa, a więc |te| ≥		≥ |te|
	4

	|ta|+...+|td|
skąd |te| =		. Gdyby np. ta i tb były różnego znaku, to
	4

	|ta|+...+|td|
|te| <		. Więc wszystkie z nich muszą być tego samego znaku,
	4

możemy założyć, że są ≥ 0.

	ta+3te
Teraz np. te ≤		⇒ te ≤ ta ⇒ te = ta
	4

Adamm: albo od razu

	|ta|+3|te|
|te| ≤		⇒ |te| ≤ |ta| ⇒ |te| = |ta|
	4

algebra: Leszku, patrzymy bardziej na to matematycznie To zadanie jest wprowadzeniem do układów równań liniowych w podanej przeze mnie książce. Czyli mam rozumieć, że są to sprytne szacowania? Faktycznie, jeśli zapisać równość jako

	|ta| + ... + |td|
szacowanie, to jest |te| ≥		≥ |te|, to już można coś z tym robić.
	4

	t|a| + ... + |td|
Rozumiem, że jeśli któryś z wyrazów będzie innego znaku, to |te| <		,
	4

gdyż zmniejszymy licznik. Więc śmiało sobie zakładamy, że t_i ≥ 0 dla każdego i.

	ta + 3te		ta + ... + td
I chyba wiem, skąd się bierze te ≤		. Szacujemy te ≤		≤
	4		4

	ta + te + te + te		ta + 3te
		=		.
	4		4

	ta + 3te
Wobec tego te ≤		⇔ te ≤ ta, ale te ≥ ta z założenia, więc ta = te.
	4

Więc równie dobrze można zrobić w drugą stronę, to jest t_i < 0 dla każdego i, a wtedy analogicznie powtórzyć rozumowanie. Zgadza się?

Leszek: Napisalem Ci ,ze jest to przeksztalcenie izometryczne , jest to pojecie matematyczne ktore ma zastosowanie i w fizyce , sadze ze jest to wstep do programowania liniowego ? ? Znajac pewne pojecia z fizyki bardzo szybko przyswoisz sobie to programowanie , Komputer to fizyka , dziala zgodnie z prawami fizyki stosujac metody matematyczne . Powodzenia .

Adamm: no, najlepiej to się po prostu popatrzeć na to co napisałem 14:23

	|ta|+...+|td|		|ta|+3|te|
|te| ≤		≤		⇒ |te| ≤ |ta| ⇒ |ta| = |te|.
	4		4

algebra: Super, dziękuję! W książce niestety był zapisany tylko warunek i wynik, bez tego, jak do tego dojść