nierówności jarosz: Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie n spełniające nierówność

4n		2n n
	≤
2√n

Ktoś ma jakiś pomysł jak to ruszyć?

ABC: eksperyment −zrób tabelki, zobacz jak się zachowują , postaw hipotezę , udowodnij

jarosz: Zrobiłem tabelkę, wyszło mi że ta nierówność jest spełniona dla każdego n≥1. Teraz jak to najlepiej udowodnić? Indukcyjnie

jarosz: Okej, jak już mówiłem wyszło mi, że dla każdej całkowitej dodatniej liczby n nierówność jest spełniona. Teraz dowód, jeśli ktoś rzuci okiem i powie czy tak można to będę wdzięczny

2n n		4n
	≥
		2√n

(2n)!		4n
	≥
n! * n!		2√n

Teraz korzystam, ze wzoru Stirlinga, Korzystam tutaj z tego też, że ten wzór jest niedoszacowaniem a nie przeszacowaniem silni (o ile to dobrze wytłumaczyłem)

	n		n
Chodzi o to, że n! ≈ (		)n *√2πn, ale jednak n! > (		)n *√2πn (mam nadzieję, że
	e		e

to zrozumiałe)

2n   ( )2n*√2π2n   e		4n		4n
	=		≥
n   (( )n*√2πn)2   e		√n*√π		2√n

4n		4n
	≥
√n*√π		2√n

4n		4n
	−		≥0
√n*√π		2√n

4ⁿ * 2√n − 4ⁿ * √n *√π ≥0 4ⁿ( 2√n − √n *√π) ≥0 2√n − √n *√π ≥0 √n(2−√π)≥0 2−√π≥0 2≥ √π 4≥π Co należało wykazać Oczywiście wszystkie rachunki które tutaj wykonuje robię w oparciu o to, że n ∊ N Czy ten dowód wygląda legitymizacyjnie?

jc:

	2n n	√n
Ciąg an=			jest ciągiem rosnącym,
		4n

a₁=1/2

	2n n	√n
Dlatgo 1/2 ≤ an =			, co jest równoważne neireónowći
		4n

4n		2n n
	≤
2√n

Dowód monotoniczności

	(2n+1)(2n+2)		√n+1		√n2+n+1/4
an+1/an=		*		=		>1
	(n+1)(n+1)		n		√n2+n

Bleee: @jc trochę namieszałeś w tym dowodzie monotonicznosci.

jc: Zgubiłem pierwiastek i 4. Powinno być

	(2n+1)(2n+2)		√n+1
an+1/an=		*		=... dalej bez zmian
	(n+1)(n+1)		4√n

jarosz: Czemu reprezentacją tej nierówności jest ciąg

4n		2n n		2n n		4n		2n n		4n
	*		a nie np		−		albo		+		?
2√n						2√n				2√n

jarosz: Niezbyt rozumiem pierwsze dwie linijki dowodu

Bleee: Jarosz masz wykazać ze x ≥ y/2 to wystarczy że pokażesz że x/y jest ciągiem rosnącym ≥ 1/2 I to właśnie jc zaproponował.

jc:

	2n n	√n
an=
		4n

Widziałem, że ciąg a_n jest rosnący (kiedyś widziałem takie zadanie). a₁<a₂<a₃< ... <a_n, a₁=1/2.

	2n n	√n
Dlatego 1/2≤an, czyli 1/2 ≤			,
		4n

a to jest prawie to samo, co chcesz pokazać.

jarosz:

	(2n+2)(2n+1)		√n+1
Doszedłem do etapu:		*		=
	(n+1)2		4√n

2(n+1)(2n+1)		√n+1		(2n+1)		√n+1
	*		=		*		=
(n+1)2		4√n		(n+1)		2√n

	√n+1+ (2n+1)2		√4n2+5n+2
		=		=
	2√n+ (n+1)2		2√n2+3n+1

√n2+5/4n+1/2
	, a to wcale nie jest >1 dla każdego n. Gdzie robię błąd?
√n2+3n+1

Bo wyszło mi inaczej niż jc

jc:

(2n+2)(2n+1)		√n+1
	*
(n+1)(n+1)		4√n

	(n+1/2)		√n+1		n+1/2		√n2+n+1/4
=		*		=		=
	n+1		√n		√n+1 √n		√n2+n