Całka potrójna Wiktoria: Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całkę po wskazanym obszarze. Poprzedni przykład był łatwy ale na tym się zawiesiłam. Bardzo proszę o pomoc oraz z góry dziękuję. ∫∫∫z²dxdydz U:x²+y²+(z−R)²≤R² (R>0) U

jc: x=r sin f cos t y=r sin f sin t z = R+r cos f J=r² sin f całka =∫df ∫dt ∫ (r² +2 rR cos f + R²) r² sin f dr f ∊ [0, π] t ∊[0,2π] r∊[0,R] całka = 2π∫ df ∫ (r² +2 rR cos f + R²) r² sin f dr ∫₀^π sin f df = 2 ∫₀^π cos f sin f df = [(sin²f)2]₀^π=0 Całka = 4π∫₀^R (r²+R²) r² dr = ...

Wiktoria: Serdecznie dziękuje za odpowiedź jednak mam pytanie. Dlaczego z=R+rcosf oraz J=r²sinf? Mój prowadzący korzystał z=rsint oraz J=r²cost.

jc: Aby było łatwiej. Wyjątkowo w tym zadaniu można tak, jak piszesz, ale po co? Czy Twój prowadzący jest geografem lub matematykiem z pwr?

Wiktoria: Matematykiem z politechniki wrocławskiej.. .

jc: Oj, pod całką powinno oczywiście stać z²=(R+r cos f)² = R² + 2Rr cos f + r² cos²f Całka względem t jest oczywista.

	cos3f
∫0π cos2f sin f df = −[		]0π=2/3
	3

Zostanie nam całka

	2		2		1		7
∫0R (R2+		r2) r2dr = [{1}{3}R2r2 +		*		r5]+0R=		R5
	3		3		5		15

	14
wynik=		πR5
	15

Ale lepiej sprawdź.

Wiktoria: Oczywiście jeszcze sama przeliczę. Dziękuję bardzo za poświęcony czas.