wielomiany kostek: Dla jakich wartości parametru t równanie x⁴ − (3t−1)x² + (t−1)² =0 z niewiadomą x ma cztery pierwiastki rzeczywiste tworzące ciąg arytmetyczny. Próbowałem najpierw x²=y Wtedy y² − (3t−1)y + (t−1)² =0 no i oczywiście y>0, ale zupełnie nie mam pomysłu na pozostałe warunki Potem próbowałem układu równań : (a₁−r)⁴ − (3t−1)((a₁−r)²+(t−1)²=0 (a₁)⁴ − (3t−1)((a₁)²+(t−1)²=0 (a₁+r)⁴ − (3t−1)((a₁+r)²+(t−1)²=0 (a₁+2r)⁴ − (3t−1)((a₁+2r)²+(t−1)²=0 Ale np dostawałem z niego wyniki typu r=0 i a₁=0, a wtedy t=1 czyli równanie przybiera postać x⁴−2x²=0 i jego pierwiastkami są : +− √2, 0 co nie spełnia założeń mojego zadania Podpowie ktoś jak się do tego zabrać?

wredulus_pospolitus: skoro mamy dostać 4 pierwiastki tworzące ciąg arytmetyczny to oznaczamy je jako: b − r b b + r b + 2r i wiemy, że W(x) = (x − (b−r) )(x − b)(x − (b+r))(x − (b + 2r)) Wymnażasz i porównujesz współczynniki przy potęgach (w sumie cztery równania ułożyć możesz, a masz trzy niewiadome)

kostek: A czy mój sposób z układem równań jest dobry?

wredulus_pospolitus: teoretycznie jest dobry ... ale skoro wyszło Ci a₁ = r = 0 to coś po drodze zostało skopane

wredulus_pospolitus: PS ... ważna uwaga Czy wiesz jak wyglądają wzory Viete'a dla wyższy stopni wielomianów Jeżeli tak to spójrz na ten wielomian i powiedz co wiemy o sumie tych pierwiastków ... ile jest równy I jaki z tego wniosek to dodatkowo ułatwi obliczenia ... bo można wtedy inaczej zapisać te pierwiastki (ułatwi to wymnażanie)

ICSP: pierwiastki są symetryczne względem osi OY, więc x₁ = 3r x₂ = r x₃ = −r x₄ = −3r (x − x₁)(x − x₂)(x − x₃)(x − x₄) = x⁴ − 10r²x² + 9r⁴

kostek: Okej, posiedziałem trochę nad wszystkimi sposobami rozwiązania tego zadania. Wzory viete'a i sposób wredulusa faktycznie dały dobre pierwiastki, problem jest niestety taki , że faktycznie muszą one być symetryczne względem osi Oy, więc rozwiązanie typu:

−√5		−2√5		−3√5		−4√5
	,		,		,
5		5		5		5

nie spełnia założen, bo podstawione do równania pierwotnego (x−x₁)(x−x₂)(x−x₃)(x−x₄), nie dadzą wielomianu, w którym b=d=0 Ale inne pierwiastki się zgadzają, jak np :

−6√5		−2√5		2√5		6√5
	,		,		,
5		5		5		5

	13
Sposób ICSP daje dwie wartości t: t=7 oraz t=		, obie wartości się zgadzają i dają
	19

faktycznie dobre pierwiastki, oraz wielomian spełnia założenie b=d=0, ale nurtuje mnie tutaj czemu w tym sposobie nie wyszły w ogóle pierwiastki ze sposobu wredulusa które są poprawne, czyli :

−6√5		−2√5		2√5		6√5
	,		,		,
5		5		5		5

Nie wiem jak zrobić to zadanie. Czy zrobić to sposobem ICSP i po prostu pominąć część pierwiastków czy zrobić dwoma sposobami i "wybrać" pierwiastki które pasują. Mam już mętlik w głowie. Rachunki są raczej oklej (sprawdzałem w wolframie nawet). Może ktoś mądrzejszy ode mnie wypowie się co zrobić z tym zadaniem w końcu

kostek: Swoją drogą nie wiem też skąd wynika, że te pierwiastki muszą być symetryczne.

wredulus_pospolitus: kostek −−−− wynika chociażby z tego, co próbowałeś na początku zrobić: x⁴ − (3t−1)x² + (t−1)² =0 ma 4 (różne) rozwiązania ⇔ w² − (3t−1)w + (t−1)² = 0 ma dwa (różne) rozwiązania dodatnie mamy wtedy: x₁ = − √w₁ x₂ = √w₁ x₃ = −√w₂ x₄ = √w₂

ICSP: wielomian o pierwiastkach

	2		2		6
−U{6}{√5 , −		,		,
	√5		√5		√5

ma postać

	144
x4 − 8x2 +
	25

co oznacza, że 3t − 1 = 8 ⇒ t = 3

	144
(t−1)2 =
	25

ale

	144
22 ≠
	25

nie wiem zatem dlaczego powyższe pierwiastki uznałeś za "dobre".