. 123: Wyznacz wszystkie homomorfizmy grup f: ℤ₂1 → ℤ₂7 oraz jądra i obrazy tych homomorfizmów.

123: .

Adamm: f:Z₂₁→Z₂₇ 1 jest generatorem Z₂₁, więc f(1) jest generatorem obrazu f Skoro 1 ma rząd 21, to f(1) ma rząd dzielący 21, zatem 1 lub 3. Jeśli f(1) ma rząd 1, to f(Z₂₁) = {0}. W przeciwnym wypadku, f(1)∊{9, 18}. Wtedy f(n) = 9n w pierwszym przypadku, i f(n) = 18n w drugim. n = k (mod 21) ⇒ 9n = 9k (mod 27), więc funkcje te są dobrze określone Zatem mamy 3 homomorfizmy. a) f(n) = 0, ker f = Z₂₁, im f = {0} b) f(n) = 9n, ker f = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}, im f = {0, 9, 18} c) f(n) = 18n, ker f i im f tak samo