teoria liczb? adal: Udowodnij, że równanie xⁿ + 2x−1 = 0 dla każdego n≥1 ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale <0, 1/2> Niech x_n będzie tym rozwiązaniem. Wykaż, że ciąg x_n jest zbieżny i znajdź jego granicę. Ktoś ma jakiś pomysł?

adal:

ABC: przy bardzo wysokiej potędze n możesz praktycznie przyjąć że xⁿ≈0 więc kandydatem na granicę

	1
jest
	2

Saizou : Np. Metoda Fouriera f₁(x) = xⁿ+2x−1 f₂(x) = f₁'(x) = nxⁿ⁻¹+2 f₃(x) = f₂'(x) = n(n−1)xⁿ⁻² ... f_n = f_n−1'(x) = n(n−1)...2*x f_n−1 = f_n'(x) = n! f_n = 0 f₁(0)=−1 f₂(0)=2 f₃(0)=...=f_n−1(0)=0 ⇒ liczba zmian znaków wynosi 1 f₁(1/2) > 0 f₂(1/2) > 0 f₃(1/2) > 0 itd. ⇒ liczba zmian znaków wynosi 0

	1
Zatem w przedziale <0,		> wielomian xn+2x−1 ma 1 − 0 = 1 miejsce zerowe
	2

Saizou : Przedziały otwarte (0, 1/2), ale łatwo można pokazać, że f(0) ≠ 0 i f(1/2) ≠ 0

adal: Czy mógłbym wytłumaczyć o co chodzi w tej metodzie albo podesłać jakiś artykuł/ksiązkę/film który ją opisuje, bo z teog co znalazłem w internecie niewiele rozumiem.

adal: Poza tym czy nie mógłbym się tutaj powołać na twierdzenia Darboux?

	1
Przedział <0;		> domknięty,
	2

f(0) = 0ⁿ + 2*0 −1 = −1

	1		1		1		1
f(		) =		n + 2*		−1 = (		)n > 0 dla każdego n ∊ N
	2		2		2		2

więc

	1
f(0)*(f		)<0
	2

Jeżeli ma być tylko jedno miejsce zerowe, ta funkcja w tym przedziale musiałaby być niemalejąca. Więc jej pochodna w tym przedziale >=0

	1
f'(x) =nxn−1 +2, jest to zawsze dodatnie, gdyż x ∊ <0;		> oraz n ∊ N
	2

Czy to nie wystarczy, aby uznać, że równanie xⁿ + 2x−1 = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale <0, 1/2>? Proszę Saizou nie zrozum mnie źle, po prostu nie do końca rozumiem o co chodzi z Metodą Fouriera, a nie chciałbym czegoś bezmyślnie spisywać z internetu nie mając o tym pojęcia.

ABC: skoro wiesz jak zrobić zadanie , to po co zamieszczasz na forum?

adal: Nie wiedziałem jak zrobić to zadanie z chwilą zamieszczenia. O tw. Darboux pomyślałem dokładnie pół godziny temu, ponadto nie wiem nawet czy takie rozwiązanie (moje) jest poprawne. Poza tym została jeszcze druga część zadania, na którą to nie mam już takich błyskotliwych pomysłów. Niemniej cieszę się że Saizou pokazał mi to rozwiązanie, bo jest to nowe narzędzie którego wcześniej nie znałem Czyli nauczyłem się czegoś, więc moim zdaniem post był "warty" zamieszczenia

adal: Ktoś ma pomysł jak podejść do tej granicy? Udało mi się ustalić tylko tyle, że wraz ze zwiększaniem się n x₀ zbliża się do 1/2, ale to za mało na dowód

wredulus_pospolitus: adal xⁿ + 2x − 1 = 0 −−−> xⁿ + 2x = 1 −−−−> x(xⁿ⁻¹ + 2) = 1 dla x ∊ (0;1) mamy: lim_{n−> ∞} x* (xⁿ⁻¹ + 2) = x * ( 0 + 2) = 2x 2x = 1 −−−> x = 1/2